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Chapitre 1 17 Chapter Les nombres réels et complexes Nombres rationnels Soit IN l ? ensembles des entiers naturels IN Il est clair que IN est un ensemble in ?ni car chaque entier naturel n admet un successeur n On désigne par IN ? l ? ensemble IN c ? est-

Chapter Les nombres réels et complexes Nombres rationnels Soit IN l ? ensembles des entiers naturels IN Il est clair que IN est un ensemble in ?ni car chaque entier naturel n admet un successeur n On désigne par IN ? l ? ensemble IN c ? est-à-dire l ? ensembles des entiers naturels non nuls IN est stable par l ? addition et la multiplication puisque x y ?? IN et x ? y ?? IN pour deux entiers naturels quelconques x et y x Par contre le résultat d ? une soustraction x ?? y ou d ? une division o? y n ? est pas toujours un entier naturel y On dé ?nit ainsi de nouveaux nombres ZI ?? ?? ?? l ? ensembles des entiers relatifs On notera ZI ? ZI et a IQ a ?? ZI et b ?? ZI ? b a l ? ensemble des nombres rationnels dans lequel on identi ?e la fraction b avec a n pour tout a ?? ZI et b n ?? ZI ? b n N B A l ? aide de cette identi ?cation on pourra toujours considérer que a et b sont premiers entre eux c ? est à dire le ? PGCD ? plus grand diviseur en commun est égal à et on note dans ce cas a ?? b Par la suite on véri ?e facilement que IN ? ZI ? IQ et ainsi les opérations élémentaires ?? ? et s ? étendent à l ? ensemble IQ des nombres rationnels Les Grecs classiques ont utilisés longtemps ces nombres rationnels pour mésurer toutes les quantités mais avec le temps ils se sont aperçu que ce n ? est pas toujours le cas En e ?et via le théorème de Pythagore on peut construire des nombres non rationnels considèrons par exemple un triangle ABC rectangle en A On désigne par a b et c les longueurs respectivement des segments AB BC et CA Le théorème de Pythagore nous donne la relation suivante b a c Ainsi pour a c la longueur de la diagonale d ? un carré de coté ?? mètre est égale à b mètres ?? Proposition Le nombre n ? est pas un nombre rationnel ?? Démonstration On utilise un raisonnement par absurd Supposons que est rationnel soit alors p et q deux entiers premiers entre eux tels que ?? p q et q Donc p q ce qui implique que p est pair et on véri ?e facilement qu ? il en est de même pour p On pose p k o? k est un entier alors q k et de la même manière on montre que q est pair C ?? Contradiction avec le fait p et q deux entiers premiers entre eux d ? o? est un nombre irrationnel C Q F D On montrera ultérieurement qu ? il y ? en a une in ?nité de nombres irrationnels Les plus populaires sont Le nombre ? dé ?ni