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Chapitre 1 the orie des ensembles

MODULE ALGEBRE L E S I A ANNEE SCOLAIRE - Dr BA CHAPITRE THEORIE DES ENSEMBLES Les langages de programmation actuels exigent que certaines variables soient déclarées avec un certain type de données Un type de données est un ensemble d ? objets associés à une liste d ? opérations standards e ?ectuées sur ces objets Dé ?nir le type d ? une variable équivaut à déclarer l ? ensemble des valeurs possibles et autorisées pour cette variable Dans la sémantique de Python vous avez dû rencontrer ? Le type bool s ? interprète comme l ? ensemble ??Vrai Faux ? ? Le type int s ? interprète comme l ? ensemble des entiers ? Le type oat s ? interprète comme l ? ensemble des nombres à virgule ottante ? Le type str s ? interprète comme l ? ensemble des chaines de caractères ? Le type list s ? interprète comme l ? ensemble des listes de longueur variable I Ensembles Dé ?nitions Un ensemble est une collection d ? objets mathématiques que l ? on peut énumérer ou dé ?nir par une propriété Les objets qui appartiennent à un ensemble sont appelés les éléments de cet ensemble Un ensemble se note par une lettre majuscule ??A B C ?? et ses éléments qui le composent sont écrits en minuscule ??a b c ?? Lorsqu ? on énumère les éléments d ? un ensemble on dit que cet ensemble est dé ?ni par extension F ? ??a b c ? Lorsqu ? on dé ?nit un ensemble par une propriété on dit que cet ensemble est dé ?ni par compréhension F ? ??x ? A P x ? ? L ? ensemble qui ne contient aucun élément s ? appelle l ? ensemble vide noté ? ? Un ensemble qui ne contient qu ? un élément s ? appelle un singleton Page CMODULE ALGEBRE L E S I A ANNEE SCOLAIRE - Dr BA Exemple Soit A l ? ensemble des nombres entiers pairs compris entre et Alors les éléments de A sont On écrit A ? ?? ? ? Pour dire qu ? un objet mathématique x est un élément d ? un ensemble A on écrit x ? ALorsque x n ? est pas un élément de A on écrit x ? A ? Deux ensembles A et B sont égaux lorsqu ? ils ont les mêmes éléments On écrit A ? B Ainsi A ? B lorsque A ? B et B ? A Exemple si A ? ?? ? et B ? ?? ? on a A ? B Notations particulières a ? l ? ensemble des entiers naturels ? ? ?? ? L ? insu ?sance de ? vient de l ? impossibilité d ? y résoudre une équation de la forme x ? ? i e de pouvoir e ?ectuer toutes les soustractions Etant donné deux entiers naturels a et b nous savons calculer la somme et le produit a ? b