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Chapitre 2 mmc Chapitre Éléments de calcul tensoriel Introduction générale II est parfaitement possible mais peu commode de présenter la théorie de la mécanique des milieux continus sans faire appel aux tenseurs Dans le cadre de ce cours nous ne donnerons

Chapitre Éléments de calcul tensoriel Introduction générale II est parfaitement possible mais peu commode de présenter la théorie de la mécanique des milieux continus sans faire appel aux tenseurs Dans le cadre de ce cours nous ne donnerons pas de dé ?nition rigoureuse et générale de l'être mathématique appelé tenseur Nous nous contenterons de donner le sens physique des tenseurs dans le cas particulier de l'espace euclidien à trois dimensions en axes cartésiens Dans le cas de la Physique la notion de tenseur est intimement liée à la dé ?nition de la grandeur représentée et à la façon dont cette grandeur se transforme dans un changement de coordonnées Convention de sommation indice muet Considérons la somme s ? a x ? a x ? a x ? ? anxn On peut écrire cette équation dans une forme compacte en utilisant le symbole de sommation n ? s ? ai xi i ? Il est clair que les équations suivantes ont exactement le même sens que la pré cé dente n ? s ? aj x j j ? n ? s ? amxm m ? Les indices i j m sont des indices muets car la somme ne dépend pas de la lettre utilisé e Nous pouvons simpli ?er l'écriture de l'équation en adoptant la convention suivante Quand un i indice est répété une fois c'est un indice muet indiquant une sommation sur cet indice allant de à n Cette convention est connue comme la convention d'Einstein donc la formule s'écrit en forme compacte s ai xi On note que s ai xi aj x j am xm Seulement il faut préciser que la convention de sommation est utilisé que si l'indice est répété une fois ce n'est pas le cas de la formule suivante Cn ? s ? aibi xi i ? Qui doit conserver le symbole de sommation Dans ce qui suit on prend souvent n dans par exemple on a ai xi ? a x ? a x ? a x aaiiie ?? ? i ? a a e ? ?? a ? a ? e ??a ? a e ?? La convention de sommation peut aussi être utilisée pour exprimer une double sommation ex on peut écrire ? ? i ? j ? aij xi x j Comme suit aij xi x j L'expression donne une somme de termes c -à -d aij xi x j ? ai xi x ? ai xi x ? ai xi x ? a x x ? a x x ? a x x ? a x x ? a x x ? a x x a x x ? a x x ? a x x Similairement pour la triple somme ? ? ? i ? j ? k ? aijk xi x j xk qui s'écrit aijk xi x j xk c'est une somme de termes Les expressions suivantes ne représentent pas des sommations ? ? ? ? ? i ? a j ? ii xi x j