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Comment etudier une fonction

PLAN D ? ETUDE D ? UNE FONCTION NUMERIQUE Domaine de dé ?nition domaine d ? étude S ? il n ? est pas donné dans l ? énoncé il faut chercher le domaine ou ensemble de dé ?nition de la fonction à étudier Ce peut être un intervalle ou une réunion d ? intervalles - Les fonctions polynômes sinus et cosinus sont dé ?nies sur La fonction inverse est dé ?nie sur ?? ? ?? ? Si l ? expression de la fonction présente un dénominateur celui-ci doit être NON NUL En conséquence les fonctions rationnelles sont dé ?nies pour toutes les valeurs qui n ? annulent pas leur dénominateur La fonction tangente est dé ?nie sur F F F FBF FA ?? ? k ? ? F EE k F F F EF ? k ?? La fonction racine carrée x ? x est dé ?nie sur ? Si l ? expression de la fonction présente un radical l ? expression situé sous le radical doit être POSITIF OU NUL La fonction logarithme népérien x ? ln x est dé ?nie sur ? Si l ? expression de la fonction présente un logarithme l ? expression situé dans le logarithme doit être STRICTEMENT POSITIVE - La fonction exponentielle x ? ex est dé ?nie sur Chacune de ces conditions ou contraintes peut entra? ner la résolution d ? une équation ou d ? une inéquation Ces conditions ou contraintes peuvent se CUMULER Parité périodicité conséquences graphiques Des informations sur la parité périodicité d ? une fonction peuvent s ? avérer intéressante pour éventuellement restreindre le domaine d ? étude de la fonction Même si le texte ne le précise pas il est essentiel d ? avoir procédé à une telle étude - Parité Très important Si le domaine de dé ?nition de la fonction n ? est pas symétrique par rapport à zéro il est inutile de chercher à étudier la parité de f car l ? existence de f x et de f -x n ? est pas simultanément assurée pour tout x de l ? ensemble de dé ?nition - Calculer f -x en remplaçant dans ? ? ? ? l ? expression de la fonction f x par ??x Simpli ?er notamment avec les puissances ex ??x x ??x ??x Si on aboutit à l ? expression de f x alors la fonction est paire Sinon regarder si on n ? aboutit pas à l ? expression de ??f x le calculer éventuellement Si c ? est le cas alors la fonction est impaire Sinon f n ? est ni paire ni impaire majorité des cas Il évident qu ? un énoncé du type montrer que f est paire ou impaire ? oriente et facilite la recherche En cas de parité ou d ? imparité il su ?t d ? étudier f seulement sur l ? intervalle ? ou ?? ? et de compléter son étude - par symétrie par rapport à l ? axe