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Complexes corrige Prépa CAPES UPMC Emmanuel Ferrand Laurent Koelblen Matthieu Romagny Lundi septembre Nombres complexes Corrigé ex Posons z ei on a z cos i sin cos i sin cos cos ei Il ne faut pas avoir l ? impression d ? avoir ?ni car d ? une part si z l

Prépa CAPES UPMC Emmanuel Ferrand Laurent Koelblen Matthieu Romagny Lundi septembre Nombres complexes Corrigé ex Posons z ei on a z cos i sin cos i sin cos cos ei Il ne faut pas avoir l ? impression d ? avoir ?ni car d ? une part si z l ? argument n ? est pas dé ?ni et d ? autre part cos peut être négatif Il faut donc discuter en fonction de son signe On a cos si et seulement si il existe k ?? Z tel que ?? ? k ? ? k ? si et seulement si il existe k ?? Z tel que ?? ? k ? ? k ? De même cos ssi il existe k ?? Z tel que ? k ? ? k ? On peut maintenant conclure la discussion - si ? k ? alors z donc z et l ? argument n ? est pas dé ?ni si ?? ?? ? k ? ? k ? alors cos donc la forme module- argument est k ??Z z cos ei si ?? ? k ? ? k ? alors cos Dans ce cas k ??Z cos ?? cos cos ei ? donc la forme module-argument est z cos ei ? Remarque En pratique c ? est souvent la formule ei cos ei qui est utile Corrigé ex Noter que comme on exclut le cas ? on doit trouver deux racines distinctes pour ? L ? équation ? ? est équivalente à ? e i ?ei ou encore au système ? ? et ?? ? Comme ? et ? sont strictement positifs la première équation donne ? ?? ? Quant à la deuxième ?? ? signi ?e qu ? il existe k ?? Z tel que k ? donc k ? Dans le cas pair k on trouve ? donc ?? ? Dans le cas impair qku eLDl e ? ? ausu nsteor leau utroiatnorcneitnsrmeosuoaenvsntetièsd roeon noco np ? p p o e suét ??e ?p ? ? r eoi p o ? ??see ?drt ol ?n a cr ?? a ?c ?? ??ien ?ie é v i ??d ??e ? ?n ?et iee i ? ? ? ? ?? ? ei puis faire observer On commence par démontrer l ? équivalence proposée et pour cela on commence par le sens direct Supposons donc que ? ? Alors en particulier ? et ? ont même module donc x y f g C- ils ont même partie réelle donc x ?? y f - leurs parties réelles sont de même signe On a obtenu les trois conditions de l ? accolade Réciproquement supposons les conditions de l ? accolade véri ?ées De la première condition puis de la deuxième on tire g x y ?? x ?? y x y donc g xy Comme xy et g sont de même signe on trouve g xy Donc ? x ?? y ixy f ig ? On en déduit la résolution pratique de l ?