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Controle continu final automne 2010 math i analyse correction

Université Claude Bernard Lyon Licence STS Année - Math I Analyse Interrogation écrite le janvier de heures à heures Question de cours Enoncer le théorème des accroissements ?nis Théorème de Lagrange Correction Soit une fonction avec On suppose que est continue sur Alors il existe tel que et dérivable sur Exercice Trouver l ? unique fonction dérivable telle que Pour tout Correction exercice Il faut d ? abord résoudre l ? équation homogène et telle que La solution générale de l ? équation homogène est Ensuite on cherche une solution particulière de l ? équation avec second membre de la forme On dérive Ce que l ? on remplace dans Comme prévu les termes en s ? éliminent Puis on simpli ?e par Comme on cherche une solution particulière Ce que l ? on remplace dans CLa solution générale de l ? équation avec second membre est la somme de la solution générale de l ? équation homogène et d ? une solution particulière Il reste à déterminer la constante à l ? aide de la condition initiale La solution recherchée est Problème Soit un entier naturel supérieur ou égal à On dé ?nit la fonction par En particulier on a et Etudier les variations de sur Question indépendante de la suite de l ? exercice Montrer que est une bijection de et montrer que est dérivable Démontrer qu ? il existe un unique réel tel que dans Calculer et Démontrer que pour tout et pour tout En déduire que et que la suite Montrer que est convergente on a est strictement décroissante Notons la limite de la suite Montrer que Dans la suite du problème on va calculer la valeur de la limite On dé ?nit la fonction par Montrer que Montrer que Sachant que et en déduire que pour tout pour tout calculer on a Démontrer que est racine de l ? équation Calculer la valeur de Correction du problèmeest dé ?nie continue et dérivable sur pour tout Donc est strictement croissante sur est strictement croissante donc elle est injective son ensemble d ? arrivée est est surjective par conséquent est une bijection de dans Comme est strictement positif la bijection réciproque de est dérivable et donc elle En fait peu importe la valeur de l ? essentiel est de s ? apercevoir que comme est une bijection de dans et que admet un unique antécédant c ? est-à-dire tel que C Admet comme racine et donc Donc D ? après Comme On en déduit que Car Pour tout est strictement croissante donc pour tout On en déduit que est strictement décroissante est strictement décroissante et minorée par La suite est décroissante donc pour tout donc Pour tout ce qui est le cas puisque converge on en déduit que D ? autre part Pour tout On en déduit que Il s ? agit à chaque fois de forme indéterminée mais c ? est la fonction puissance qui l ? emporte sur et On rappelle aussi que entraine que