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Lycée JEAN ROSTAND Term Limite de Suites Sujet d ? entrainement Mathématiques Année - Exercice Étudier pour chacun des cas suivants la limite éventuelle de la suite un en justi ?ant votre réponse Il s ? agit d ? une forme indéterminée terme de plus haut degré ? donc il faut appliquer la seule et unique méthode factoriser par le ? n n n n ?? n ?? n n ?? n Or lim et lim ?? donc par quotient on en déduit que n ? ? n n ? ? n lim n ? ? un C ? est toujours une forme indéterminée donc même principe qu ? avant mais cette fois il va falloir exceptionnellement développer le dénominateur n n n n n n n n n n n n n Or lim n ? ? n et lim n ? ? n n donc par quotient on en déduit que lim n ? ? un ? ? ? Il s ? agit évidemment toujours de la même forme indéterminée Même peine même punition n ?? n ?? n n n n n ? ?? n n n Par quotient on a lim ?? n ? ? n et lim n ? ? n De plus comme ?? on sait que lim n ? ? Par produit on en déduit donc que n ?? lim n ? ? n On sait que ?? ?? n donc ?? n d ? o? n un n Or lim et lim donc d ? après le théorème d ? encadrement on en déduit que n ? ? n n ? ? n lim n ? ? un On sait que ?? cos n donc n un n En particulier on a donc un n or lim n ? donc par croissance comparée on en déduit que n ? ? lim n ? ? un ? Mathématiques CExercice On considère la suite un dé ?nie par u et pour tout entier naturel n non nul par n un n un a Déterminer les valeurs de u et u sous forme de fraction Il suf ?t d ? appliquer la relation de récurrence sans se tromper sur la valeur de n u ? u ? u ? u ? b À l ? aide de votre calculatrice conjecturer le sens de variation et la limite de cette suite Cette suite semble décroissante et converge vers a Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul unn Initialisation Pour n on a u donc u La propriété est bien initialisée Hérédité Supposons que la propriété soit vraie pour un rang n donné et montrons qu ? elle est encore vraie pour le rang n On sait donc que n n n un donc ? n n n un ? n n n On en déduit donc que un n n La propriété est bien initialisée et héréditaire donc elle est vraie pour tout entier naturel n non nul b En déduire la