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Corrige diagonalisation ENSA de Tanger Diagonalisation - Corrigé des exercices Algèbre - AP - F EB F F F EC ?? Exercice Diagonaliser la matrice A F EC F EC F EC F EC F EC F ED F F F F F F F F ?? Mn R pour n ? F F F F F F ?? Solution Nous avons

ENSA de Tanger Diagonalisation - Corrigé des exercices Algèbre - AP - F EB F F F EC ?? Exercice Diagonaliser la matrice A F EC F EC F EC F EC F EC F ED F F F F F F F F ?? Mn R pour n ? F F F F F F ?? Solution Nous avons presque terminé cet exercice en TD Ce n ? est pas la peine de reprendre les calculs mais rappelons F EB F F x F EC F F x que nous nous sommes partis de l ? équation matricielle AX ?X o? X F EC F EC F ED F F F F F F ce qui nous a donné un xn ?? ?? système linéaire à n équations et n inconnues Nous avons trouvé valeurs propres ?? n n ?? ?? ?? Pour les valeurs propres ?? n n on trouve par les calculs que les sous- espaces propres sont de dimension ?? ?? il suf ?t de revenir au système linéaire en remplaçant ? par ?? n puis par n Pour la valeur propre ?? on trouve par les calculs que le sous-espace propre associé est E ?? x xn ?? Rn x x xn x x xn ?? xn ?? Rn xn ??x ?? x ?? ?? xn ?? Donc les vecteurs de E ?? s ? écrivent sous forme X x x xn ?? ?? x ?? x ?? ?? xn ?? x ?? x ?? xn ?? ?? Donc les n ?? vecteurs u ?? u ?? un ?? ?? forment une base de E ?? qui est donc de dimension n ?? Puisque dim E ?? ??n dim E ??n dim E ?? n ?? n dim Rn alors la matrice A est diagonalisable Exercice Soit l ? endomorphisme D de Cn X dé ?ni par la dérivation des polynômes Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de D L ? endomorphisme D est-il diagonalisable Mêmes questions pour l ? endomorphisme L R X ?? ? R X donné par L P XP ?? X ?? P Solution Soit ? ?? C une valeur propre de D Alors il existe un polynôme non nul P ?? Cn X tel que D P ? P Donc P ? P Comme deg P deg P alors nécessairement ? Donc P ce qui montre que P est un polynôme constant Par conséquent est la seule valeur propre de D et le sous- espace propre E D est égal à l ? ensemble des polynômes constants E D C Soit B X X Xn la base canonique de Cn X Page sur COn a D D X D X X D Xn nXn ?? Donc la matrice de D dans la base B est F EB F F F EC F F F EC M D B F ECF EC F EC F EC F EC F F F F F F F F F F F