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TS Devoir surveillé - 25/9/06 Exercice 1 Soit g la fonction déﬁnie sur R −{−1}

TS Devoir surveillé - 25/9/06 Exercice 1 Soit g la fonction déﬁnie sur R −{−1} par g(x) = 3x −1 − x −1 (x + 1)2 . 1. Étudier les limites de g aux bornes de son ensemble de déﬁnition. (Il y en a trois). 2. Calculer g′ (x) et montrer que g′ (x) est du signe de x (x + 1)3 . Étudier le signe de g′ (x) et dresser le tableau de variations de g. 3. Montrer que la courbe Cg représentative de g a une asymptote oblique d. Déterminer la position de Cg par rapport à d. 4. Tracer d et Cg dans le plan rapporté à un repère orthonormé (unité : 2 cm). 5. Prouver que l’équation g(x) = 3 admet trois solutions réelles dont on donnera des encadrements d’amplitude 10−1. Exercice 2 Il s’agit de questions indépendantes. Soigner la rédaction et les justiﬁcations. 1. (a) En étudiant la fonction f (x) = 2x −cos x, démontrer que l’équation cos x = 2x admet une solution unique α dans R. (N.B. On rappelle que la dérivée de cos x est −sin x. La courbe de f n’est pas demandée.) (b) Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10−2. 2. (a) Résoudre dans R l’inéquation 2x2 ≥(x + 1)2. (b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier n ≥4, on a : 2n ≥n2. En déduire lim n→+∞ 2n n . 3. Soit la fonction f déﬁnie par : f (x) = √ x2 + 4x. (a) Quel est l’ensemble de déﬁnition de f ? (b) Déterminer lim x→+∞ √ x2 + 4x −x et vériﬁer que lim x→−∞ √ x2 + 4x + x = −2. Qu’en déduire pour la représentation graphique de f ? (N.B. Celle-ci n’est pas demandée). 4. (a) Démontrer que la suite u déﬁnie par : un = 4 √ 26 −10 sin n est bornée. (b) Quelle est la limite de vn = 4n √ 26 −10 sin n lorsque n tend vers +∞? (c) Quelle est la limite de wn = 4 (n + 1)√ 26 −10 sin n lorsque n tend vers +∞? 5. (a) Rappeler les formules a3 −b3 = . . . et cos(2x) = . . . , et les utiliser pour prouver que : cos3(2x) −1 = −2 sin2 x cos2(2x) + cos(2x) + 1 (b) Soit la fonction f déﬁnie sur R par f (x) =    cos3(2x) −1 x2 si x < 0 x + m cos x si x ≥0 . Pour quelle valeur de m la fonction f est-elle continue ? uploads/Litterature/ ts-devoir-surveille-25-9-06-exercice-1.pdf