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Corrige feuille 4 Licence Mathématiques Université Rennes Algèbre et Arithmétique Matthieu Romagny novembre Corrigé des exercices de la feuille de TD no Exercice Corrigé Notons C l'ensemble à éléments formé par les élèves de la classe La question posée es

Licence Mathématiques Université Rennes Algèbre et Arithmétique Matthieu Romagny novembre Corrigé des exercices de la feuille de TD no Exercice Corrigé Notons C l'ensemble à éléments formé par les élèves de la classe La question posée est de compter le nombre de manière d'écrire C A ?? B avec A et B deux ensembles à éléments On peut noter que A et B forment une partition de C Le nombre de choix possibles pour A est égal à Une fois choisie A on n'a plus de choix possible pour la partie B qui doit nécessairement être égale à C A Dans cette manière de compter on a ordonné les parties A la première et B la seconde alors qu'en réalité elles ne le sont pas dit autrement le choix de la partie A et de la partie C A donnent lieu à la même partition de C en deux groupes de Il faut donc diviser par le nombre précédent pour obtenir la réponse à la question qui est donc Soit n le nombre d'éléments de S L'énoncé nous dit que n c'est-à-dire n n ?? n ?? ou encore n n ?? n ?? Notons E l'ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à La C fonction f E ? E dé nie par f n n n ?? n ?? est strictement croissante car si n n on a n ?? n ?? et n ?? n ?? donc en multipliant ces trois quantités on trouve f n f n On en déduit que f est injective Donc s'il existe un entier n solu ??tion de l'équation f n alors celui-ci est unique Comme f n est de l'ordre de n en calculant on voit que n doit être proche de ou En prenant n on voit qu'on gagne f Donc Cnalement card S Exercice Corrigé On calcule n ?? n ?? n ?? n ?? p ? n ?? n ?? p n ?? n ? n ?? n p ?? p p ?? n ?? p p n ?? ?? p p n ?? p p n ?? p p n ?? p Voir le cours Exercice Corrigé Je vous laisse la joie du calcul C Soit E un ensemble ni de cardinal n Comme n on peut choisir deux éléments a et b dans E Nous allons dénombrer l'ensemble P E des parties à p éléments de E On sait d'après le cours qu'il est de cardinal n p On peut également dénombrer P E en le partitionnant de la manière suivante Pour toute partie A ? E on peut dire que soit A contient a et b on notera Q l'ensemble de ces parties soit A contient a mais pas b on notera Q l'ensemble de ces parties soit A contient b mais pas a on notera Q l'ensemble de ces parties soit A ne contient ni a ni b on notera Q l'ensemble de ces parties Les parties A ?? Q sont en bijection