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Cours calculs de primitives et d x27 integrales

Christophe Bertault ?? Mathématiques en MPSI CALCULS DE PRIMITIVES ET D ? INTÉGRALES Ce chapitre vise à renforcer votre pratique du calcul intégral au moyen de révisions ciblées et gr? ce à deux nouveautés l ? intégration par parties et le changement de variable Le point de vue adopté n ? est pas théorique Nous dé ?nirons proprement la notion d ? intégrale et nous démontrerons le théorème fondamental du calcul intégral sur lequel ce chapitre repose au chapitre Intégration sur un segment ? en ?n d ? année Dans tout ce chapitre est l ? un des ensembles ou et I et J sont des intervalles CALCULS SIMPLES DE PRIMITIVES Dé ?nition Primitive Soit f I ?? ? une fonction On dit qu ? une fonction F I ?? ? est UNE primitive de f sur I si F est dérivable sur I de dérivée f Exemple La fonction x ?? ? x est UNE primitive de x ?? ? x sur et Arctan est UNE primitive de x ?? ? x sur Théorème Unicité ? des primitives à constante additive près Soit f I ?? ? une fonction On suppose que f possède une primitive F I ?? ? Les primitives de f sur I à valeurs dans sont alors toutes les fonctions F ? ? décrivant ATTENTION Il n ? existe jamais une seule primitive on ne dit jamais la ? primitive mais UNE primitive Il peut ne pas en exister mais s ? il en existe il en existe une in ?nité et elles sont toutes égales à constante additive près Démonstration Pour tout F ?? I F est une primitive de f ? ?? F ?? f ? ?? F ?? F ?? ? ?? F ?? F ?? ? ?? F ?? F est constante ? ?? ?? ? ?? F F ? ATTENTION Les fonctions que l ? on manipule couramment sont un empilement de fonctions usuelles liées entre elles par des additions des multiplications des passages à l ? inverse et des compositions Vous savez toutes les dériver car vous savez dériver les fonctions usuelles et disposez des formules de dérivation d ? une somme d ? un produit d ? un inverse et d ? une composée La primitivation des fonctions est autrement plus dif ?cile ?? vous savez primitiver la fonction x ?? ? x mais pour primitiver son inverse x ?? ? il a fallu qu ? on vous introduise x une nouvelle fonction usuelle la fonction logarithme ?? vous savez primitiver la fonction x ?? ? x mais pour primitiver son inverse x ?? ? il a fallu qu ? on vous x introduise une nouvelle fonction usuelle la fonction arctangente On ne peut pas dire pourtant que les fonctions x ?? ? x et x ?? ? x soient compliquées Le problème de la primitivation c ? est qu ? on ne peut pas primitiver explicitement toutes les fonctions qu ? on utilise couramment On peut montrer