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Cours injections surjections bijections pdf 1

Christophe Bertault ?? Mathématiques en MPSI INJECTIONS SURJECTIONS BIJECTIONS Nous avons manipulé déjà ensemble pas mal de fonctions mais presque toujours dé ?nies sur une partie de et à valeurs dans Nous aurons désormais l ? occasion de manipuler des fonctions DÉFINIES SUR DES ENSEMBLES QUELCONQUES et À VALEURS DANS DES ENSEMBLES QUELCONQUES ?? des ensembles de ce-que-vous-voulez pas forcément des ensembles de nombres Ce chapitre s ? ouvre ainsi naturellement sur une généralisation simple de choses bien connues mais vous présente ensuite quelques nouveautés importantes notamment les notions d ? injection et de surjection Dans tout ce chapitre E F G sont des ensembles QUELCONQUES GÉNÉRALITÉS SUR LES APPLICATIONS Qu ? est-ce qu ? une fonction On se contente généralement de dire ce qu ? une fonction FAIT pour éviter d ? avoir à dire ce qu ? elle EST Une fonction associe à tout élément d ? un ensemble un unique élément d ? un autre ensemble ? Ceci hélas n ? est pas une dé ?nition quel est donc ce quelque chose qui associe ? une chose à une autre Intuitivement une fonction c ? est une ?gure une courbe un graphe La fonction x ?? ? x par exemple peut être vue comme l ? ensemble des points du plan de coordonnées x x x décrivant On vous a sans doute expliqué qu ? il ne faut pas confondre une fonction et sa courbe représentative Avec la dé ?nition qui suit au contraire toute fonction EST son graphe Dé ?nition Application fonction ensemble de dé ?nition d ? arrivée image et antécédents d ? un point image d ? une application ? On appelle application ou fonction de E dans F toute partie f de E ? F telle que ??x ?? E ?? y ?? F x y ?? f La présence du pseudo-quanti ?cateur ?? ? permet de noter f x l ? unique y ?? F de la proposition ci-dessus La proposition x y ?? f ? n ? est donc en fait jamais notée ainsi mais plutôt y f x ? ? L ? ensemble E est appelé l ? ensemble de dé ?nition ou de départ de f L ? ensemble F est quant à lui appelé un ensemble d ? arrivée de f ? Pour tout x ?? E f x est appelé L ? image de x par f Pour tout y ?? F tout élément x de E pour lequel y f x est appelé UN antécédent de y par f Explication f x F ? ? La ?gure de droite ci-contre ne représente pas une fonction de E dans F car à un x donné se trouvent associées plusieurs valeurs de f x f x ? f x F x E y x x x À gauche y possède plusieurs antécédents par f on parle d ? UN antécédent et E non de l ? ? antécédent de y ? Conformément au programme les mots fonction ?