Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Cours logique formelle partie 1

CHAPITRE Rappels mathématiquesLes entiers naturels Souvent on écrit l'ensemble des entiers naturels en utilisant les trois points pour exprimer que C l'ensemble des entiers est un ensemble qui possède une in nité C d'éléments Cette dé nition est intuitive et facilement acceptée Mais elle E ne su t pas pour utiliser le concept de nombres entiers dans plusieurs domaines des mathématiques Ceci revient au fait d'écrire trois points C pour exprimer la notion d'in ni qui n'est pas en soit un concept C mathématique Il est donc nécessaire de donner une dé nition des entiers naturels adaptée à de nombreuses applications en C mathématiques et aussi en logique Dans la nouvelle dé nition des entiers on prend chaque entier comme un objet mathématique construit à partir de l'entier zero et l'application S dite fonction successeur ??n ?? N S n ? n Ainsi on peut construire tous les entiers naturels comme suit S S S n f n Cette manière de construire les entiers naturels amène à proposer une C nouvelle dé nition des entiers naturels Dé ?nition est un entier naturel Si n est un entier naturel alors S n n est un entier C naturel L'ensemble des entiers naturels est dé ni par les clauses C C et Cette dé nition est un exemple de dé nition par induction La clause est appelée règle de base la clause qui permet de construire un nouveau élément est appelée règle de génération La C dernière clause est appelée règle de fermeture elle signi e que la C dé nition des entiers est déterminée par les clauses et Induction mathématique Le principe d'induction mathématique est très utilisé pour démontrer des proptiétés sur les ensembles des entiers ou sur tout autre ensemble dont les éléments sont des objets mathéamtiques et qui est isomorphe à un sous ensemble de l'ensemble des entiers naturels Il serait très utile de rappeler de façon simple le principe d'induction Supposons que l'on souhaite démontrer une C RAPPELS MATHÉMATIQUES propriété P n pour tout n ?? N Pour utiliser le principe d'induction dans notre démonstration nous devons suivre les étapes suivantes Montrer C que la propriété P n est véri ée pour n Montrer que P n est C C véri ée si l'on admet que P n est véri ée On déclare que ??n ?? N P n est démontrée si nous avons montré les étapes et Accepter le principe de l'induction mathématique très utilisé en mathématique devient immédiat C si on prend en considération la dé nition inductive des entiers naturels Soulignons que le principe d'induction n'est pas seulement utilisé pour démontrer des propriétés des entiers naturels mais concerne aussi les proriétés sur des ensembles dénombrables Le principe d'induction est aussi très utilisé dans les preuves des propriétés et théorèmes en logique o? C C souvent les dé nitions sont données sous la forme de dé nition inductive Généralement la preuve par induction d'une propiété P n sur un ensemble dénombrable E est constituée de trois