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Cours lois densite loi normale

DERNIÈRE IMPRESSION LE juin à Lois de probabilité à densité Loi normale Table des matières Lois à densité Introduction Densité de probabilité et espérance mathématique Loi uniforme Dé ?nition Espérance mathématique Application méthode de Monte-Carlo Loi exponentielle Dé ?nition Loi sans mémoire ou sans vieillissement Espérance mathématique Un exemple Application à la physique Lien entre le discret et le continu La loi normale Du discret au continu La loi normale centrée réduite La densité de probabilité de Laplace-Gauss Loi normale centrée réduite Calcul de probabilités Espérance et variance Probabilité d ? intervalle centré en Loi normale générale Loi normale d ? espérence et d ? écart type ? In uence de l ? écart type Approximation normale d ? une loi binomiale Théorème Central-Limit hors programme PAUL MILAN TERMINALE S C LOIS À DENSITÉ Lois à densité Introduction Lorsque l ? on s ? interesse à la durée d ? une communication téléphonique à la durée de vie d ? un composant électronique ou à la température de l ? eau d ? un lac la variable aléatoire X associée au temps ou à la température peut prendre une in ?nité de valeurs dans un intervalle donné On dit alors que cette variable X est continue qui s ? oppose à discrète comme c ? est le cas par exemple dans la loi binomiale On ne peut plus parler de probabilité d ? événements car les événements élémentaires sont en nombre in ?ni La probabilité d ? une valeur isolée de X est alors nulle On contourne cette dif ?culté en associant à la variable X un intervalle de R et en dé ?nissant une densité de probabilité Densité de probabilité et espérance mathématique Dé ?nition On appelle densité de probabilité d ? une variable aléatoire continue X toute fonction f continue et positive sur un intervalle I a b a ? ou R telle que ? P X ?? I f t dt I ? ? Pour tout intervalle J ? inclus dans I on a P X ?? J f t dt D ? autre part la fonction F dé ?nie par F x P X x est appe lée la fonction de répartition de la variable X x x F x f t dt ou lim f t dt a a ? ?? ? a Remarque ? Comme la fonction f est continue et positive la probabilité P X ?? I correspond à l ? aire sous la courbe C f Elle vaut alors u a ? La probabilité P X ?? J avec J ? correspond à l ? aire du domaine délimité par C f l ? axe des abscisse et les droites d ? équation x et y ? ? Comme la probabilité que X prenne une valeur isolée est nulle que l ? intervalle J soit ouvert ou fermé importe peu Ainsi P X ?? ? P X ?? ? P X ?? ? P X ?? ? u a O P X