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Cours probabilite s1 PROBABILITES Cours et exercices Mr AHBLI Mustapha GROUPE EXCELLENCE TANGER CSOMMAIRE I- Le modèle probabiliste - Evènements - Loi de probabilité espace de probabilité - Le cas o? les évènements élémentaires sont équiprobables - Exerci

PROBABILITES Cours et exercices Mr AHBLI Mustapha GROUPE EXCELLENCE TANGER CSOMMAIRE I- Le modèle probabiliste - Evènements - Loi de probabilité espace de probabilité - Le cas o? les évènements élémentaires sont équiprobables - Exercices II- Probabilités conditionnelles - Dé ?nition - Deux résultats de décomposition - Evènements indépendants - Exercices III- Variables aléatoires généralités - Dé ?nitions - Variables aléatoires discontinue - Variables aléatoires continue - Couples de variables aléatoires - Variables aléatoires indépendantes - Exercices IV- Caractéristiques d ? une variable aléatoire - Espérance mathématique - Variance - Covariance - Exercices V- Variables aléatoires usuelles - Loi de Bernoulli p - Loi binomiale n p - Loi hypergéométrique - Loi uniforme - Loi de Poisson ? - Loi exponentielle - Loi normale ? - Exercices CI- Le modèle probabiliste Evènements Etant donnée une expérience aléatoire on note l'ensemble de tous les résultats possibles de cette expérience Un singleton de est appelé évènement élémentaire Un sous- ensemble A de est appelé un évènement Un évènement A est donc un ensemble constitué de résultats possibles de l'expérience Si le résultat d'une expérience est dans A on dit que A est réalisé Exemple - Sept étudiants doivent passer un oral d'examen On leur distribue un numéro d'ordre On pose tous les alignements des sept lettres a b c d e f g Le résultat cfabdeg signi ?e que l'étudiant c est le premier a le second L'ensemble des arrangements qui commencent par cf est un évènement Dans le cadre de la théorie des probabilités un évènement est généralement dé ?ni comme l'ensemble des résultats ayant une propriété donnée La plupart du temps l'ensemble A est noté comme la propriété qui le dé ?nit Donnons quelques exemples de telles assimilations évènement certain ? évènement impossible A ?? B évènement A ou B A ??B évènement A et B F D Non A évènement contraire de A A ??B ? les évènements A et B sont incompatibles Exercice Soit l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire et soient A B et C des évènements Traduire en termes ensemblistes les évènements a les trois évènements A B et C sont réalisés b aucun des évènements A B ou C n'est réalisé c au moins un des évènements est réalisé d deux au plus des évènements est réalisé Loi de probabilité espace de probabilité Dé ?nition Soit un ensemble Une loi de probabilité P sur est une fonction qui à tout évènement A associe un nombre réel P A et qui a les trois propriétés a ? P A ? Cb P c Pour toute famille ?nie ou dénombrable An ? ?? ?? d'évènements deux à deux disjoints P ? ? ?? ?? An ? ? ?? ?? P An P s'appelle un espace de probabilité Exemple On lance un dé et on observe la face du dessus On posera et on supposera que le dé est parfaitement équilibré de sorte que la probabilité de chaque face est la même P P P P B