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Université Ibn Zohr Faculté des Sciences Juridiques Économiques et Sociales Ana

Université Ibn Zohr Faculté des Sciences Juridiques Économiques et Sociales Analyse mathématique I Mohamed HACHIMI FILIERE SCIENCES ECONOMIQUES ET GESTION PREMIERE ANNEEEG x y x0 y0 Semestre 1 Table des matières 1 Fonction numérique d’une variable réelle 3 1. Ensemble des Nombres réels 3 2. Limite et continuité 6 3. Dérivabilité 10 4. Etude d’une fonction 13 5. EXERCICES 15 2 Primitives. Calcul intégral 16 1. Primitives 16 2. Intégration 17 3. Méthodes d’intégration 19 4. Calcul approché d’une intégrale 20 5. EXERCICES 21 3 Formule de Taylor. Développements limités 22 1. Comparaison des fonctions 22 2. Formules de Taylor 23 3. Développements limités 24 4. Applications des développements limités 26 5. EXERCICES 27 4 Fonctions de plusieurs variables 28 1. Notions de base 28 2. Dérivées partielles 29 3. Différentielles 32 4. Optimisation d’une fonction à deux variables 33 5. Intégrales doubles 35 6. EXERCICES 35 BloG d'Economie et Gestion Analyse mathématique EKOGEST.BLOGSPOT.COM 1 facebook.com/IKO.GES 1 Fonction numérique d’une variable réelle 1. Ensemble des Nombres réels ■Ordre et opérations algébriques L’ensemble R muni de la relation « inférieur ou égal » est un ensemble totalement ordonné. De plus , on a la proprièté suivante : Si x, y et z sont trois nombres réels, alors x ⩽y ⇐ ⇒x + z ⩽y + z Si z > 0 x ⩽y ⇐ ⇒xz ⩽yz Si z < 0 x ⩽y ⇐ ⇒xz ⩾yz ■L’ensemble R On appelle R l’ensemble R auquel on adjoint les deux symboles +∞et −∞. Soit : R = R ∪{+∞} ∪{−∞}. On prolonge à R l’addition, la multiplication et la relation d’ordre de R de la façon suivante : — Pour ℓ∈R on pose : ℓ+ (+∞) = +∞, −(+∞) = −∞, (+∞) + (+∞) = +∞ ℓ+ (−∞) = −∞, −(−∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞, −∞< ℓ< +∞. — Pour ℓ∈R∗on pose : ℓ× (+∞) = 8 < : +∞si ℓ> 0 −∞si ℓ< 0. ℓ× (−∞) = 8 < : −∞si ℓ> 0 +∞si ℓ< 0. (+∞) × (+∞) = +∞ (+∞) × (−∞) = −∞ Malgré tout, certaines expressions ne sont pas déﬁnies : 0 × (+∞), 0 × (−∞), (+∞) + (−∞). Ces expressions sont appelées formes indéterminées. ■Intervalles de l’ensemble R Soient a et b deux éléments de R tels que a < b. On appelle intervalle ouvert d’extrémités a et b le sous-ensemble de R noté ]a, b[ déﬁni par : ]a, b[= { x ∈R | a < x < b }· BloG d'Economie et Gestion Analyse mathématique EKOGEST.BLOGSPOT.COM 2 facebook.com/IKO.GES 1 Fonction numérique d’une variable réelle 4 Soient a et b deux nombres réels tels que a ⩽b. On appelle intervalle fermé d’extrémités a et b le sous-ensemble de R noté [a, b] déﬁni par : [a, b] = { x ∈R | a ⩽x ⩽b }· Si a et b deux nombres réels tels que a ⩽b, on déﬁnit de même l’intervalle semi-ouvert à droite (resp. à gauche) d’extrémités a et b par : [a, b[= { x ∈R | a ⩽x < b } (resp. ]a, b] = { x ∈R | a < x ⩽b })· Soit a un nombre réel. On appelle intervalle ouvert de centre a toute intervalle de type ]a −ε, a + ε[ où ε désigne un nombre réel strictement positif. Enﬁn, on pose : [a, +∞[= { x ∈R | x ⩾a }, ] −∞, a] = { x ∈R | x ⩽a } ]a, +∞[= { x ∈R | x > a }, ] −∞, a[= { x ∈R | x < a }. ■Valeur absolue Déﬁnition 1.1 Soit x un nombre réel. La valeur absolue de x est le nombre positif, noté |x|, déﬁni par : |x| = sup{x, −x} Il résulte immédiatement de la déﬁnition que : ∀x ∈R : |x| ⩾0, |x| = | −x|, |x| ⩾x. Proposition 1.1 Soient x et y deux nombres réels, on a : • |xy| = |x||y| • |x + y| ⩽|x| + |y| (inégalité triangulaire) ■Voisinages Déﬁnition 1.2 Soit x0 un nombre réel. On appelle voisinage fondamental de x0 tout intervalle ouvert non vide de centre x0. On note Vε(x0) le voisinage fondamental de x de rayon ε (ε > 0) : Vε(x0) = {x ∈R : x0 −ε < x < x0 + ε} = {x ∈R : |x0 −x| < ε} x0 x0 + ε x0 −ε Déﬁnition 1.3 On appelle voisinage d’un nombre réel x0 toute partie de R qui contient un voisinage fondamental de x. Déﬁnition 1.4 On appelle voisinage de +∞ resp. −∞ toute partie de R contenant un intervalle de la forme ]a, +∞[ resp. ] −∞, a[ où a ∈R. BloG d'Economie et Gestion Analyse mathématique EKOGEST.BLOGSPOT.COM 3 facebook.com/IKO.GES 1 Fonction numérique d’une variable réelle 5 ■Notion de fonction numérique d’une variable réelle Déﬁnition 1.5 Une fonction numérique d’une variable réelle est une relation de R dans R telle qu’à tout élément de R est associé un élément au plus de R. On note f : R − →R. On déﬁnit souvent une telle fonction f en donnant l’expression, en fonction de x, de l’image f(x) du réel x. On note f : x 7− →f(x). Déﬁnition 1.6 Soit f : E − →F une fonction. On appelle domaine de déﬁnition (ou ensemble de déﬁnition) de f la partie de R constituée des éléments ayant (exactement) une image ; nous la noterons désormais Df. ■Représentation graphique Déﬁnition 1.7 Soit R = (O, − → i , − → j ) un repère cartésien du plan et f une fonction. On appelle représentation graphique (ou courbe représentative) de f dans R l’ensemble Cf = {M(x, f(x))|x ∈Df} où M(x, y) désigne le point de coordonnées (x, y) dans R. Lorsque x décrit Df ⊂R, le point M(x, y) où y = f(x) décrit dans ce plan la courbe Cf de la fonction f dans le repère choisi. •M x 1 1 y = f(x) ⃗ ı ⃗  ■Graphe d’une fonction réciproque Soit E et F deux parties de R. Soit f une fonction réelle d’une variable réelle, bijective de E dans F. La fonction réciproque f−1 existe et le graphe de f−1 est symétrique de celui de f par rapport à la première bissectrice (droite d’équation x = y). En effet, β = f−1(α) ⇐ ⇒α = f(β) Soit, (α, β) ∈Cf−1 ⇐ ⇒(β, α) ∈Cf Les points (α, β) et (β, α) sont symétriques l’un de l’autre par rapport à la première bissectrice. x = y y x o Cf Cf−1 α β α β BloG d'Economie et Gestion Analyse mathématique EKOGEST.BLOGSPOT.COM 4 facebook.com/IKO.GES 1 Fonction numérique d’une variable réelle 6 ■Sens de variation Déﬁnition 1.8 Soit f une fonction réelle et I un intervalle de R, tel que I ⊂Df — On dit que f est croissante sur I si : ∀(x, y) ∈I2, x < y = ⇒f(x) ⩽f(y) — On dit que f est décroissante sur I si : ∀(x, y) ∈I2, x < y = ⇒f(x) ⩾f(y) — f est strictement croissante sur I si : ∀(x, y) ∈I2, x < y = ⇒f(x) < f(y) — f est strictement décroissante sur I si : ∀(x, y) ∈I2, x < y = ⇒f(x) > f(y) Pour étudier la croissante ou la décroissante de f, on introduit le rapport : f(x) −f(y) x −y où x ̸= y. appelé aussi taux d’accroissement de f. Ainsi, f est croissante (resp. strictement croissante) sur I si et seulement si : ∀(x, y) ∈I2, x ̸= y = ⇒f(x) −f(y) x −y ⩾0 (resp. > 0). 2. Limite et continuité Il est parfois nécessaire d’étudier le comportement d’une fonction f(x) lorsque x s’approche d’un point situé au bord de son domaine de déﬁnition ; il y a plusieurs possibilités. ■Limite en un point Déﬁnition 1.9 On dit que f a pour limite ℓ(ℓ∈R) en x0 si : ∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈Df : 0 < |x −x0| < η = ⇒|f(x) −ℓ| < ε. On dit aussi « f converge vers ℓquand x tend vers x0 ». On note lim x→x0 f(x) = ℓ. Cette déﬁnition ne précise pas si f est déﬁnie ou non en x0. Dans le cas où f est déﬁnie en x0, la valeur de la limite ne dépend pas de f(x0) c-à-d que ℓpeut être différent de f(x0). ■Limite à droite et limite à gauche — On dit que ℓest une limite à droite de f en x0 et on note lim x→x+ 0 f(x) = ℓou lim x→x0 x>x0 f(x) = ℓsi : ∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈Df : x0 < x < x0 + η = ⇒|f(x) −ℓ| < ε. — On dit que ℓest une limite à gauche de f en x0 et on note lim x→x− 0 f(x) = ℓou lim x→x0 x<x0 f(x) = ℓsi : ∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈Df : x0 −η < uploads/Management/ analyse-mathematique 1 .pdf