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École Nationale Supérieure en Génie des Systèmes et de l’Innovation – Cours de

École Nationale Supérieure en Génie des Systèmes et de l’Innovation – Cours de deuxième année ingénieur – Contrôle des Systèmes Linéaires Benoît Marx, Maître de Conférences HDR à l’Université de Lorraine Table des matières 1 Introduction et outils théoriques 1 1.1 Signaux et systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Systèmes linéaires et équations diﬀérentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 Équations diﬀérentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.2 Systèmes décrits par des équations diﬀérentielles linéaires, invariantes 3 1.3 Transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Propriétés des transformées de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.3 Exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.1 Détermination de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.2 Schémas fonctionnels et algèbre des blocs . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Réponse temporelle d’un système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.1 Pôles simples distincts réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.2 Pôles multiples réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.3 Pôles complexes conjugués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6 Annexe : table de transformées de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Étude des systèmes linéaires du premier ordre 18 2.1 Intérêt des systèmes du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Réponses temporelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.1 Réponse impulsionnelle d’un premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.2 Réponse Indicielle d’un premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.3 Réponse à une rampe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.4 Réponse à une sinusoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Réponse fréquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.1 Étude d’un intégrateur pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.2 Étude du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Étude des systèmes linéaires du deuxième ordre 25 3.1 Intérêt des systèmes du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Réponses temporelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.1 Réponse impulsionnelle d’un second ordre . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.2 Réponse indicielle d’un second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Réponses fréquentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 4 Étude des systèmes linéaires d’ordre quelconque 32 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2 Réponse temporelle d’un système linéaire d’ordre quelconque . . . . . . . . 32 4.3 Analyse fréquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5 Systèmes en boucle fermée 35 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.2 Eﬀet de la boucle fermée sur un système simple . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.2.1 Eﬀet de la boucle fermée sur un système du premier ordre . . . . . 37 5.2.2 Eﬀet de la boucle fermée sur un système du second ordre . . . . . . 39 5.3 Structures classiques de régulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.3.1 Commande en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.3.2 Commande en boucle ouverte avec compensation des perturbations 43 5.3.3 Commande en boucle fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.3.4 Commande en boucle fermée avec compensation des perturbations . 44 6 Analyse d’un système 46 6.1 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.2 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.2.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.2.2 Critère de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Management/ asservi-et-regulation-du-stm-asservi.pdf