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Des demonstrations sur les fonctions trigo 1

T D du février Continuité et dérivabilité des fonctions cosinus sinus et tangente Des inégalités utiles ? a Dessiner le cercle unité et placer cos x sin x et tan x pour x ?? b Par des considérations géométriques montrer que ? ??x ?? ? sin x ? x ? tan x Continuité en a Montrer que sinus est continue en b Montrer que ??x ?? ? ?? x ? cos x ? c En déduire que cos est continue en Continuité sur R a Rappeler les formules pour cos a h et sin a h b En déduire que sinus est continue sur R c En déduire que cosinus est continue sur R ? ? d Justi ?er que tangente est continue sur les intervalles k ? k ? Des limites utiles sin x a Montrer sans utiliser le taux d ? accroissement que lim x ? x cos x ?? b Montrer sans utiliser le taux d ? accroissement que lim x ? x Dérivabilité sur R a Montrer que sinus est dérivable sur R et que sin cos b Montrer que cosinus est dérivable sur R et que cos ?? sin c Montrer que tangente est dérivable sur les intervalles tan tan cos ? ? k ? k ? et que S Freyssinet PCSI-Lycée l ? Essouriau - C Corrigé Continuité et dérivabilité des fonctions cosinus sinus et tangente Des inégalités utiles a tan x sin x N M x O cos x N M x O HI b i Le triangle OM I est un triangle d ? aire OI ? M H sin x OI ? IN tan x ii Le triangle ON I est un triangle rectangle d ? aire ? x iii Le secteur circulaire O M I est d ? aire sin x x tan x Or OM I ? O M I ? ON I donc ? ? Finalement ??x ?? ? ? sin x ? x ? tan x Continuité en a Par le théorème d ? encadrement lim sin x x ? La fonction sinus est impaire donc lim sin x ?? lim sin x x ? ?? x ? Or sin donc la fonction sinus est continue en b Soit x ?? ? cos x ?? sin x Par les inégalités de la première partie ? sin x ? x ? sin x ? x ??x ? ?? sin x ? ?? x ? ?? sin x ? ?? x ? cos x ? S Freyssinet PCSI-Lycée l ? Essouriau - C c Par le théorème d ? encadrement lim cos x x ? La fonction cosinus est paire donc lim cos x lim cos x x ? ?? x ? Or cos donc la fonction cosinus est continue en Continuité sur R a cos a h cos a cos h ?? sin a sin h sin a h sin a cos h cos a sin h b lim sin a h lim cos a sin h sin