Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

1 Chapitre 12 Chapitre 12 Régression linéaire simple et corrélation Régression

1 Chapitre 12 Chapitre 12 Régression linéaire simple et corrélation Régression linéaire simple et corrélation linéaire linéaire  Mise en contexte  Régression linéaire simple  Corrélation linéaire  Exemple de sortie SPSS MQT-21919 Probabilités et Statistique en Gestion MQT-21919 Probabilités et Statistique en Gestion 2 Mise en contexte En statistique, plusieurs problèmes consistent à définir la relation qui existe entre deux variables statistiques : Le nombre d’années d’expérience et le nombre d’erreurs commises ; L’âge du conducteur et le nombre d’accidents d’auto ; Volume des ventes et les dépenses en publicité ; Nombres d’heures d’études et les résultats aux examens ; … 3 Mise en contexte Dans ce genre de problèmes, les principales questions auxquelles nous voudrons répondre sont les suivantes : 1. Existe-il une relation ou une dépendance entre les variables statistiques ? 2. Cette relations, si elle existe, est-elle linéaire ou non ? 3. Si une dépendance existe, de quelle façon peut-on la traduire par une équation mathématique ? 4. La relation, si elle existe, est-elle grande ou faible ? 5. Si l’équation mathématique de la relation entre les variables existe, comment prévoir les valeurs d’une variable à partir de la connaissance de valeurs de l’autre variable ou des autres variables ? 4 Mise en contexte Pour répondre à toutes ces questions, nous ferons appel à une théorie statistique que nous appelons : L’analyse de la régression 5 L’analyse de la régression Définition L’analyse de la régression est une méthode statistique qui permet d’étudier le type de relation pouvant exister entre une certaine variable dont on veut expliquer les valeurs et une ou plusieurs autres variables qui servent à cette explication. En d’autres termes, l’analyse de la régression permet d’étudier les variations de la première variable sur la base des variations connues des autres variables. 6 L’analyse de la régression Exemple d’illustration Le coût du loyer en fonction de nombre de pièces, de l’étage dans l’immeuble, ... ) ,..., , , ( 3 2 1 n X X X X f Y  Coût du loyer Nombre de pièces Services offerts (piscine, stationnement intérieur, etc.) L’étage dans l’immeuble … 7 L’analyse de la régression Définition Une analyse de régression est : – dite simple si elle permet de prédire les valeurs d’une variable dite dépendante (expliquée (Y)) à partir des valeurs prises par une autre variable dite indépendante (explicative (X)). – dite multiple si elle permet de prédire les valeurs d’une variable dite dépendante (expliquée (Y)) à partir des valeurs prises par plusieurs autres variables dites indépendantes (explicatives (Xi)). 8 L’analyse de la régression linéaire simple C’est la représentation graphique dans le plan cartésien de l’ensemble des paires de données (xi,yi). Ces données proviennent d’une série statistique de deux caractères numériques obtenus à partir d’une étude menée sur un échantillon ou sur une population. Définition : Nuage de points ou diagramme de dispersion 9 L’analyse de la régression linéaire simple Exemple : Nuage de points ou diagramme de dispersion Supposons que le nombre d’heures d’études nécessaires pour préparer l’examen final en statistique et le nombre de bonnes réponses obtenues par chaque étudiant sont donnés dans le tableau suivant : Tracer le nuage de points ou le diagramme de dispersion des données présentées ci-dessus. 10 L’analyse de la régression linéaire simple Exemple : Nuage de points ou diagramme de dispersion … Diagramme de dispersion Heures d'études 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2 4 6 8 10 11 L’analyse de la régression linéaire simple Objectif d’une analyse de régression simple Une fois la représentation graphique effectuée, il est facile de soupçonner l’existence d’une certaine relation entre les deux caractères étudiés. Il faut maintenant chercher à exprimer la relation existant entre les deux variables à l’aide d’une équation mathématique. ) (X f Y  On essaye de trouver la forme mathématique de la fonction f 12 L’analyse de la régression linéaire simple Objectif d’une analyse de régression simple Diagramme de dispersion Heures d'études 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2 4 6 8 10 13 L’analyse de la régression linéaire simple  Définition : Nous appelons régression linéaire l’ajustement d’une droite au nuage statistique d’une série de couples de données. Ainsi, une régression linéaire simple va permettre de résumer, d’interpréter et de prévoir les variations d’un caractère dit dépendant (Y) en fonction d’un autre dit indépendant (X) et ce en utilisant une droite. 14 L’analyse de la régression linéaire simple Forme générale du modèle théorique de régression linéaire simple        0 1 ) ( X X Y f Notation : Y = Variable dépendante ou expliquée X = Variable indépendante ou explicative 0 et 1 = Coefficients théoriques de régression (à estimer à l’aide d’un échantillon)  = Erreur théorique aléatoire (d’autres facteurs influencent Y)  15 L’analyse de la régression linéaire simple Les différentes étapes d’une étude de régression  16 L’analyse de la régression linéaire simple  Il existe plusieurs méthodes permettant d’estimer le modèle théorique , par le modèle empirique :  Méthode des moindres carrés  Méthode de la vraisemblance  …       X Y 1 0 X b b Y 1 0 ˆ   17 L’analyse de la régression linéaire simple La méthode des moindres carrés  Idée de base : cette méthode essaye de construire une droite de régression empirique qui minimise la somme des carrés des distances verticales entre cette droite et chacun des points observés. 18 L’analyse de la régression linéaire simple La méthode des moindres carrés …  ) , ( i i y x ) ˆ , ( i i y x Illustration graphique 19 L’analyse de la régression linéaire simple La méthode des moindres carrés … Définition : On appelle résidu ou erreur empirique ou écart de prévision, la valeur , soit la différence (l’écart vertical) entre la valeur observée yi de Y et la valeur estimée obtenue à partir de la droite de régression. i i i y y e ˆ   i y ˆ L’objectif de la méthode des moindres carrées est de déterminer la droite de régression qui minimisent .   n i i e 1 2 20 L’analyse de la régression linéaire simple La méthode des moindres carrés …  L’équation de la droite de régression empirique 1  X b b Y 1 0 ˆ   Coefficient de régression empirique, L’ordonné à l’origine, Estimations de 0  Coefficient de régression empirique, Pente de la droite, Estimation de 21 L’analyse de la régression linéaire simple La méthode des moindres carrés …                       n i i i n i i i n i i n x b b y s y y s e e e e e s 1 2 1 0 1 2 1 2 2 ... 2 3 2 2 2 1 ˆ Cette mesure donne l’ordre de grandeur de la dispersion des observations Yi autour de la droite de régression Il s’agit de trouver bo et b1 de sorte que la somme s soit la plus petite possible (minimale). 22 L’analyse de la régression linéaire simple Principes de la méthode des moindres carrés …  Comment calculer les coefficients ? 1 0 b et b Les estimations ponctuelles des paramètres de la droite de régression obtenues par la méthode des moindres carrés sont :          n i i n i i i x n x y x n y x b x b y b 1 2 2 1 1 1 0 Taille de l’échantillon 23 L’analyse de la régression linéaire simple Exemple 1 d’illustration  À partir des données ci-dessous, déterminez les estimations ponctuelles des paramètres de la droite de régression selon la méthode des moindres carrés : 24 L’analyse de la régression linéaire simple Exemple d’illustration : réponse  67 . 0 ) 30 ( 5 5500 40 30 5 6670 2 1 2 2 1 1               n i i n i i i x n x y x n y x b 9 . 19 30 67 . 0 40 1 0       x b y b X Y 67 . 0 9 . 19 ˆ   25 L’analyse de la régression linéaire simple Remarque Importante  La droite de régression déterminée à l’aide de la méthode des moindres carrés donne la plus faible somme de carrés résiduelles parmi toutes les autres droites que l’on pourrait ajuster à cet ensemble d’observations.  2 i e 26 L’analyse de la régression linéaire simple Exemple 2 d’illustration  Une entreprise veut mener une étude sur la relation entre les dépenses hebdomadaires en publicité et le volume des ventes qu’elle réalise. On a recueilli au uploads/Management/ chapitre-12.pdf