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RÉPUBLIQUE DÉMOCRATIQUE DU CONGO UNIVERSITÉ PROTESTANTE DE LUBUMBASHI FACULTÉ D

RÉPUBLIQUE DÉMOCRATIQUE DU CONGO UNIVERSITÉ PROTESTANTE DE LUBUMBASHI FACULTÉ DES SCIENCES INFORMATIQUES (RT) Dispensé par : MSc. Ir. OMALANGA PELE ANNÉE ACADÉMIQUE : 2018-2019 COURS D’ANALYSE NUMÉRIQUE DESTINÉ AUX ÉTUDIANTS DE DEUXIÈME BACHELIER RT COURS D’ANALYSE NUMÉRIQUE MSc. Ir. OMALANGA PELE BAC 2 RT/ 2018-2019 1 PLAN DU COURS CHAPITRE I : LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES I.1. Introduction I.2. Méthode de GAUSS-JORDAN I.3. Méthode de GAUSS CHAPITRE II : LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES II.1. Introduction II.2. La méthode de NEWTON-RAPHSON II.3. La méthode de DICHOTOMIE CHAPITRE III : L’INTERPOLATION III.1. Introduction III.2. Interpolation linéaire III.2. Interpolation quadratique III.2. Interpolation de LAGRANGE CHAPITRE IV : LA RÉGRESSION LINÉAIRE IV.1. Introduction IV.2. Méthode de moindres carrés CHAPITRE V : LES MÉTHODES D’INTÉGRATION DÉFINIE V.1. Introduction V.2. Méthode des rectangles V.3. Méthode des trapèzes CHAPITRE VI : LA RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES VI.1. Introduction VI.2. Méthode de RUNGE-KUTTA COURS D’ANALYSE NUMÉRIQUE MSc. Ir. OMALANGA PELE BAC 2 RT/ 2018-2019 2 CHAPITRE I : LA RÉSOLUTION DES SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES I.1. INTRODUCTION Une équation linéaire est de la forme Le degré de cette équation est d’ordre 1. (sont les coefficients). (sont les variables). Un système d’équations linéaires est composé de plusieurs équations linéaires. Ex : { On peut mettre ce système sous forme matricielle et écrire : ( , ( , ( , Matrice des coefficients techniques Matrice des variables Matrice des termes indépendants Il existe plusieurs méthodes pour la résolution des systèmes des équations linéaires dont :  La méthode de GAUSS-JORDAN  La méthode de GAUSS  La méthode de CRAMER (que nous ne verrons pas dans notre cours) I.2. MÉTHODE DE GAUSS-JORDAN C’est la méthode la plus utilisée. Pour la présenter, nous allons prendre l’exemple d’un système de 4 équations à 4 inconnues : { COURS D’ANALYSE NUMÉRIQUE MSc. Ir. OMALANGA PELE BAC 2 RT/ 2018-2019 3 Sous forme matricielle, on a ( , ( ) ( , Cette méthode comporte deux traitements dans chaque étape :  La normalisation  La réduction Dans cette méthode, on choisit successivement chaque ligne comme ligne pivot, le pivot étant le premier élément non nul de la ligne. On utilisera la matrice de départ suivante : ( , Ainsi, dans la normalisation de la première étape, on divisera la ligne n° 1 du système par : On aura : A. Première étape 1) La normalisation ( ; , 2) La réduction On annule les autres termes se trouvant sur la même colonne que le pivot en effectuent des opérations entre les lignes : à la deuxième ligne, on retranche la première multipliée par , à la troisième ligne, on retranche la première multipliée par , à la quatrième ligne, on retranche la première multipliée par . Le système suivant : ( ; : : : ) COURS D’ANALYSE NUMÉRIQUE MSc. Ir. OMALANGA PELE BAC 2 RT/ 2018-2019 4 B. Deuxième étape La deuxième ligne est considérée maintenant comme ligne pivot, et comme un élement pivot. On ramène sur cette deuxième ligne les opérations précédentes, et obtient après division de cette ligne par : 1) La normalisation ( ; : ; : : ) 2) La réduction On annule les autres termes de la seconde colonne, c'est-à-dire à la première ligne, on retranche la seconde multipliée par , à la troisième ligne, on retranche la deuxième multipliée par , à la quatrième ligne, on retranche la deuxième multipliée par . On obtient : ( ; : ; : : ) On considère ensuite la troisième ligne comme pivot, puis la quatrième ligne ; ce qui donne à l’issue de la quatrième étape : ( ; : : : : ; : : : : : : ; : : ; ) Soit la solution du système : { D’une manière générale, si on applique cette procédure au système , où est une matrice d’ordre ; on remarque qu’à l’issue de la première étape, on obtient la matrice comportant des 0 et un 1 dans la première colonne. On s’arrêtera à la étape, étant l’ordre de la matrice. COURS D’ANALYSE NUMÉRIQUE MSc. Ir. OMALANGA PELE BAC 2 RT/ 2018-2019 5 Exemple I. Résoudre le système suivant par la méthode de GAUSS-JORDAN { < = @ = < > Résolution : Sous forme matricielle, on a : ( < ; ; ; ; ; = < ; + ( + ( = @ > + La matrice de départ sera : ( < ; ; = ; ; ; @ = < ; > + A. Première étape a) Normalisation ( ; ; ; ; @ = < ; > ) b) Réduction ( ; : : ) B. Deuxième étape a) Normalisation ( ; : ; < : ) b) Réduction ( 1 0 0 1 2 0 0 ) COURS D’ANALYSE NUMÉRIQUE MSc. Ir. OMALANGA PELE BAC 2 RT/ 2018-2019 6 C. Troisième étape a) Normalisation ( 1 0 0 1 2 0 0 1 3 , b) Réduction ( 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3 + D’où : { ; < = II. Résoudre par la méthode de GAUSS-JORDAN le système suivant : { < < @ < : = Résolution : Sous forme matricielle on a : ( 2 1 1 1 1 1 0 1 0 2 1 1 1 0 1 1 , ( ) ( < @ : = ) ( 2 1 1 1 2 1 1 0 1 6 0 2 1 1 0 1 0 1 1 3 , A. Première étape : 1. Normalisation ( ; ; ; ; : ; @ : ; < : ; ; ; ; : = , 2. La Réduction COURS D’ANALYSE NUMÉRIQUE MSc. Ir. OMALANGA PELE BAC 2 RT/ 2018-2019 7 ( 1 1 2 1 2 1 2 1 0 3 2 1 2 1 2 5 0 2 1 1 0 0 1 2 1 2 1 2 2) B. Deuxième étape 1. Normalisation ( 1 1 2 1 2 1 2 1 0 1 1 3 1 3 10 3 0 2 1 1 0 0 1 2 1 2 1 2 2 ) 2. La réduction ( 1 0 1 3 2 3 8 3 0 1 1 3 1 3 10 3 0 0 5 3 1 3 20 3 0 0 2 3 1 3 1 3 ) C. Troisième étape 1. Normalisation ( 1 0 1 3 2 3 8 3 0 1 1 3 1 3 10 3 0 0 1 1 5 4 0 0 2 3 1 3 1 3 ) 2. La réduction COURS D’ANALYSE NUMÉRIQUE MSc. Ir. OMALANGA PELE BAC 2 RT/ 2018-2019 8 ( 1 0 0 3 5 4 0 1 0 2 5 2 0 0 1 1 5 4 0 0 0 1 5 3 ) D. Quatrième étape 1. Normalisation ( 1 0 0 3 5 4 0 1 0 2 5 2 0 0 1 1 5 4 0 0 0 1 15 ) 2. Réduction ( 1 0 0 0 5 0 1 0 0 4 0 0 1 0 7 0 0 0 1 15 , D’où la solution est : { ? > A ;? III. Résoudre par la méthode de GAUSS-JORDAN le système suivant : { < A < = = = < = < = Résolution : Sous forme matricielle on a : ( 2 1 1 1 0 2 1 1 3 3 1 2 1 1 1 2 , ( ) ( A = = = ) ( 2 1 1 1 7 0 2 1 1 3 3 3 1 2 3 1 1 1 2 3 , A. Première étape : COURS D’ANALYSE NUMÉRIQUE MSc. Ir. OMALANGA PELE BAC 2 RT/ 2018-2019 9 1. Normalisation ( 1 1 2 1 2 1 2 7 2 0 2 1 1 3 3 3 1 2 3 1 1 1 2 3 ) 2. La Réduction ( 1 1 2 1 2 1 2 7 2 0 2 1 1 3 0 9 2 1 2 7 2 27 2 0 1 2 3 2 3 2 1 2 ) B. Deuxième étape 1. Normalisation ( 1 1 2 1 2 1 2 7 2 0 1 1 2 1 2 3 2 0 9 2 1 2 7 2 27 2 0 1 2 3 2 3 2 1 2 ) 2. La réduction ( 1 0 3 4 1 4 11 4 0 1 1 2 1 2 3 2 0 0 11 4 5 4 27 4 0 0 5 4 5 4 5 4 ) C. Troisième étape 1. Normalisation COURS D’ANALYSE NUMÉRIQUE MSc. Ir. OMALANGA PELE BAC 2 RT/ 2018-2019 10 ( 1 0 3 4 1 4 11 4 0 1 1 2 1 2 3 2 0 0 1 5 11 27 11 0 0 5 4 5 4 5 4) 2. La réduction ( 1 0 uploads/Management/ cours-d-x27-analyse-numerique-bac-2-reseaux-et-telecoms.pdf