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Devoir de mathematiques correction pcsi 1

DS no - Corrig ?e ?? ?? Exercice a Soit x ?? R O ??n suppose que x ?? ?? x Donc ?? x ?? x x puis ?? x x ?? donc x x ?? En ?n x x ?? x puis x ?? x Le discriminant est ? ?? ? Donc les racines sont ?? et ?? ?? Puis en synth ese on a pour x ?? et pour x ?? ?? ?? Donc est l ? unique solution b Soit x ?? R On a x ?? x x ?? ?? x ?? ?? x ?? ?? x Ainsi les solutions sont et ?? c Soit x ?? ? ?? Si x alors x ?? ?? ? x ?? est toujours vraie Si x ? alors x ?? x ?? ?? x ?? x x ?? ?? x ?? x Les racines du polyno me sont et Donc l ? expression est strictement n ?egative dans L ? ensemble des solutions est alors d Soit x ?? R ?? On calcul x ??x x x ?? x ?? x ?? x ??x x ?? ?? x x x ?? x x x ?? x ??x x ?? ?? x x x ?? x x x ?? ?? x x ?? x x x ?? ?? x ?? x ?? x x x ?? Cette expression est strictement positive sur ?? ? ?? Exercice a L ? assertion ??a ?? Z ??b ?? Z ??c ?? Z a b c est fausse En e ?et sa n ?egation est ??a ?? Z ??b ?? Z ??c ?? Z a b c est v ?eri ? ?ee On pose a ?? Z Soit b ?? Z On pose c b alors a b b c b L ? assertion ??a ?? Z ??c ?? Z ??b ?? Z a b c est vraie Soit a ?? Z Soit c ?? Z On pose b c ?? a On a a b a c ?? a c c L ? assertion ??x ?? R x ?? x ? ?? x ? est fausse Sa n ?egation ??x ?? R x ?? x ? et x est v ?eri ? ?ee par x d L ? assertion ??n ?? N ??k ?? N n k ?? ??k ?? N n k est fausse Sa n ?egation ??n ?? N ??k ?? N n k et ??k ?? N n k est v ?eri ? ?ee par n On pose k on a n k Soit k ?? N On a k est pair et n est impair donc n k e L ? assertion ?? ??N ?? N ??n ? N ?? sin n n est vraie Soit On pose N E ?? ?? N Soit n ? N On a sin n n ? n ?? ? N ?? Donc ?? sin n n f L ? assertion ??a ?? Z ??c ?? Z a c ?? ??b ?? Z