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Devoir surveille n 1 Lycée Jules Ferry PTSI Devoir surveillé no ?? Mathématiques Le temps imparti pour ce devoir est de heures Tout document ou matériel électronique est interdit La présentation des copies et la qualité de la rédaction seront largement pr

Lycée Jules Ferry PTSI Devoir surveillé no ?? Mathématiques Le temps imparti pour ce devoir est de heures Tout document ou matériel électronique est interdit La présentation des copies et la qualité de la rédaction seront largement prises en compte dans l ? évaluation en particulier vous êtes invités à mettre en évidence vos résultats en les encadrant clairement Sauf mention contraire explicite toutes vos réponses doivent être soigneusement justi ?ées sans quoi elles ne seront pas prises en compte Si vous pensez repérer une erreur d ? énoncé vous devez le signaler sur votre copie et poursuivre votre composition Si vous ne parvenez pas à résoudre une question vous pouvez admettre le résultat demandé et l ? utiliser si besoin dans toute question ultérieure du même exercice Le devoir est constitué de exercices indépendants L ? énoncé comporte pages Exercice Les questions de cet exercice sont indépendantes ? Linéariser l ? expression sin x cos x puis calculer l ? intégrale sin x cos x dx Rappeler pour tout réel x la dé ?nition de tan x en fonction de sin x et cos x en précisant dans quel cas cette dé ?nition a un sens Calculer alors la dérivée de x ? tan x sur son ensemble de dé ?nition puis démontrer que ? pour tout x ?? tan x x Exercice Soient a et b des nombres réels Rappeler sans démonstration les formules donnant cos a cos b cos a b sin a et cos a on exprimera cos a en fonction de cos a Factoriser pour tout réel x cos x cos x puis résoudre l ? équation E suivante d ? inconnue réelle x E cos x cos x et représenter sur le cercle trigonométrique les solutions appartenant à ? Soit x ?? R Exprimer cos x en fonction de cos x puis véri ?er que cos x ?? cos x ?? cos x cos x cos x Véri ?er que ? et ? sont solutions de l ? équation E de la question En déduire que cos ? et ? cos sont solution d ? une équation de degré que l ? on précisera ? En justi ?ant votre réponse donner le signe de cos et cos ? et déterminer ?nalement leurs valeurs exactes Exercice Soit f la fonction dé ?nie par f x ln orthonormé direct du plan ex ?? et Cf sa courbe représentative dans un repère Justi ?er que l ? ensemble de dé ?nition de f est R ? Déterminer les limites de f en et en ? Dresser le tableau de variations de f A ?n de faciliter les calculs de dérivée on pourra commencer par écrire f x ?? ln ? o? les points de suspension sont à remplacer par une expression en fonction de x Déduire des questions précédentes que f réalise une bijection de R ? dans un ensemble à déterminer C Véri ?er que pour tout x ?? R ? f x ??x ?? ln