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Ds 1 20 21 CPGE Centre Moulay Idriss - Fès Devoir surveillé n Mardi octobre MP ? - Il sera tenu compte de la rigueur des raisonnements la clarté de la rédaction et la qualité de la présentation Exercice On consid ère ? C H P ?? R X P t dt et D H ? R X l'a

CPGE Centre Moulay Idriss - Fès Devoir surveillé n Mardi octobre MP ? - Il sera tenu compte de la rigueur des raisonnements la clarté de la rédaction et la qualité de la présentation Exercice On consid ère ? C H P ?? R X P t dt et D H ? R X l'application dé nie par D P P ?? Montrer que D est un isomorphisme d'espaces vectoriels Pour toute la suite on considère F F R X ? H l'isomorphisme réciproque de D F F Bn n la suite polynômes C dé nie par la récurrence F F ??n ??n ?? ?? N ? N ? C bn n la suite réelle dé nie par bn Bn B Bn ?? H Bn n Bn ?? F F a Expliciter Bi pour i ?? F F ??n ?? N deg Bn n C F F b Véri er que l'on a ?? k ? n ?? N Bn k n n ?? k Bn ??k c Comparer selon la parité de n Bn X et Bn ?? X Prouver que pour tout entier n ? Bn Bn et que pout tout n ?? N ? b n a Montrer que si h ?? C a ? R est telle que h et h ?? admettent des C limites nies en ? alors lim h ?? x x ? ? ? Si besoin on pourra admettre pour la suite la généralisation sous la forme suivante C Si h ?? Cm a ? R est telle que h et h m admettent des limites nies en ? alors pour tout k ?? m ?? toutes les dérivées lim h k x admettent des limites nulles en ? x ? ? b Prouver que pour toute fonction f ?? C n R f ?? f f ?? f ?? ?? ? n j b j j f j ?? f j ?? ? n ? B n t f n t dt c Soient a ?? R et g a ? ? R une fonction de de classe C ? ? C On considère la série dé nie par sa suite des sommes partielles Sm g k a ? k ? m i Montrer que pour tous entiers q p ? a et r ?? N ? on a Sq ?? Sp g q ?? g p ? q p g t dt ? r j b j j g j ?? q ?? g j ?? p Rp q r o? Rp q r r ? q ?? ? n B r x ?? n g r x n p n dx C ii On suppose en plus que g véri e les quatre conditions ? ? g t dt est convergente ? a g n est convergente de somme notée S n ? a lim g x x ? ? Il existe r ?? N ? tel que g r soit intégrable sur a ? Prouver alors que Rp