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Ds1 corrige Universit ?e Denis Diderot Licence L ?? MASS Corrig ?e du devoir surveill ?e no MA ?? Exercice I Soit q R ? R la forme quadratique d ?e ?nie par la formule q x y z x xy xz y yz z D ?eterminer la forme bilin ?eaire sym ?etrique associ ?ee a q e

Universit ?e Denis Diderot Licence L ?? MASS Corrig ?e du devoir surveill ?e no MA ?? Exercice I Soit q R ? R la forme quadratique d ?e ?nie par la formule q x y z x xy xz y yz z D ?eterminer la forme bilin ?eaire sym ?etrique associ ?ee a q et sa matrice dans la base canonique La forme polaire de q est la forme bilin ?eaire f R ? R ? R d ?e ?nie par f x y z x y z xx xy x y xz x z yy yz y z zz La matrice de q est F EB F F F ED F F D ?ecomposer q en combinaison lin ?eaire de carr ?es de formes lin ?eaires lin ?eairement ind ?ependantes En d ?eduire le rang et la signature de q On applique l ? algorithme de r ?eduction de Gau? q x y z x xy xz y yz z x y z ?? y z y yz z x y z yz x y z y z ?? y ?? z L ? utilisation de cet algorithme justi ?e que l ? on ait bien obtenu une combinaison lin ?eaire de carr ?es de trois formes lin ?eaires lin ?eairement ind ?ependantes On en d ?eduit que le rang de q est q est non-d ?eg ?en ?er ?ee et que sa signature est D ?eterminer une base B orthogonale pour q La r ?eduction de Gau? obtenue a la question pr ?ec ?edente a fait appara tre trois formes lin ?eaires lin ?eairement ind ?ependantes et sur R Elles sont donn ?ees par les formules x y z x y z x y z y z x y z y ?? z D ?eterminons la base duale v v v de cette base de formes lin ?eaires Pour cela r ?esolvons le syst eme lin ?eaire param ?etr ?e par trois r ?eels a b c F F F F x y z a y z b F F y ??z c On obtient F F F F x a ?? b c y b c F F z b ?? c On en d ?eduit les ?egalit ?es v v ?? v ?? Le proc ?ed ?e suivi garantit que ces trois vecteurs v v v forment une base B orthogonale pour q C Quelle est la matrice de q dans la base B La base B est orthogonale pour q la matrice cherch ?ee est donc diagonale et les coe ?cients diagonaux se lisent sur les coe ?cients des carr ?es des formes lin ?eaires dont B est la base duale dans la r ?eduction de Gau? obtenue La matrice de q dans la F EB F F F ED F F base B est donc ?? Pour tout r ?eel ? on note v ? ? ?? et F ? l ? orthogonal de v ? pour q D ?eterminer la dimension de