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Ds02 1718 Année Scolaire ?? MATHÉMATIQUES MPSI DS N ? Samedi h Les candidats sont invités à composer avec une encre suf ?samment visible en bleu foncé ou en noir par exemple le bleu p? le est à proscrire Les candidats sont également invités à porter une a

Année Scolaire ?? MATHÉMATIQUES MPSI DS N ? Samedi h Les candidats sont invités à composer avec une encre suf ?samment visible en bleu foncé ou en noir par exemple le bleu p? le est à proscrire Les candidats sont également invités à porter une attention particulière à la qualité de leurs raisonnements ainsi qu ? à la rédaction les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée et les résultats doivent être encadrés La calculatrice les formulaires et les téléphones sont interdits Problème complexes Les deux parties de ce problème sont indépendantes Partie I Trigonométrie Soit u exp i ? On pose S u u u u u et T u u u u u Q Justi ?er les égalités u et u u Q En déduire sans calculs que S et T sont conjugués Q Montrer que la partie imaginaire de S est positive sans calcul numérique Q Démontrer que S T ?? et S ? T Q En déduire la valeur de S et celle de T Q Par dé ?nition tan ? sin cos ? ? a À l ? aide des formules d ? Euler montrer que i tan ? u ?? u ?? ??u k k b Véri ?er que i sin ? u ?? u Q En déduire que tan ? sin ? i T ?? S Partie II Cosinus et sinus hyperboliques complexes Pour z ?? C on pose ch z e z e ??z cosinus hyperbolique complexe et sh z e z ??e ??z sinus hyperbolique complexe On remarquera qu ? il s ? agit de l ? exponentielle complexe ? Q a Montrer que ??z ?? C ez e ??z b Montrer que les fonctions ch et sh complexes sont périodiques préciser une période Cc Montrer que la fonction ch est paire et la fonction sh est impaire d Soit x réel exprimer cos x et sin x à l ? aide des fonctions complexes ch et sh e Exprimer ch z i ? et sh z i ? en fonction de ch z et sh z Q Soient z z deux complexes démontrer les relations a ch z ?? sh z b ch z ch z et sh z sh z c ch z z ch z ch z sh z sh z et sh z z ch z sh z sh z ch z d ch z ch z ch z z ch z ??z ? et sh z sh z sh z z ch z ??z Q Soit z ?? C avec z x i y sous forme algébrique montrer que a ch z ch x cos y b sh z ch x ?? cos y Q Résoudre dans C les équations a sh z puis ch z b ch z c ch z i Q a Soit z ?? C déterminer tous les complexes z tels que ch z ch z b Déterminer tous les complexes z tels que