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Epst 2an devoir1 anal num1

Ecole Préparatoire en Sciences et Techniques D ? Oran eme année Devoir Surveillé Analyse Numérique La duree h Documents Téléphone non autorisés N B a chaque utilisation d ? un théorème ou d ? autre résultat du cours rappeler soigneusement et véri ? er les hypothèses sous lesquelles il peut s ? appliquer faute de quoi la conclusion n ? a pas de valeur Exercice pts point ? xe On veut calculer le zéro r de la fonction f x x x x en utilisant l ? algorithme de points ? xes xn xn xn w w xn o? w est un paramètre réel strictement négatif w Pour quelle s valeur s du paramètre w le zéro de la fonction f x est-il un point ? xe de la méthode proposée Pour quelle s valeur s de w la méthode proposée converge-t-elle Pour qu ? elle valeur de w la méthode proposée converge-t-elle plus vite Quel est l ? ordre de convergence dans ce cas Exercice pts Décomposition LU Certaines matrices symétriques mènent à une factorisation de la forme LLt o? L est une matrice triangulaire inférieure Expliquer pourquoi on s ? intéresse à ce cas particulier de la factorisation LU par rapport à la méthode de Croute Résoudre le système linéaire x y z ? ? x y z x y z à l ? aide d ? une factorisation LLt Exercice pts Méthodes itératives Soit le système d ? équations algébriques suivant a x a a A y A A a z p o? a est un paramètre réel tel que a Pour a faire trois itérations de la méthode de Gauss-Seidel en partant de l ? approximation initiale X t Pour qu ? elles valeurs de a la convergence de la méthode de Gauss- Seidel est-elle assurée Pour a donner la matrice d ? itéraptions TJ de lapméthode de Jacobi Sachant que la matrice TJ possède les valeurs propres et est-ce que la méthode Gauss-Seidel converge pour ce système linéaire ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? N B La qualité de la rédaction la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l ? appréciation des copies Kh ZENNIR BON COURAGE C EPST eme année Corrigés Indice du DS d ? Analyse Numerique Exercice On pose pt x x w x g x w il su t en suite de montrer que g En utilisant la dé ? nition du point ? xe L ? algorithme de points ? xes converge En utilisant la notion de convergence de la méthode des points ? xes pt La converge est rapide ordre pt En utilisant la notion d ? ordre de convergence de la méthode des points ? xes Exercice La décomposition de Cholesky nécessite fois