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Euclidien Espaces vectoriels préhilbertiens et euclidiens - Sommaire Produit Scalaire sur E Forme bilinéaire symétrique sur E Forme quadratique associée Forme quadratique dé ?nie positive Produit Scalaire sur E Exemples classiques Inégalité de Cauchy-Schw

Espaces vectoriels préhilbertiens et euclidiens - Sommaire Produit Scalaire sur E Forme bilinéaire symétrique sur E Forme quadratique associée Forme quadratique dé ?nie positive Produit Scalaire sur E Exemples classiques Inégalité de Cauchy-Schwarz Norme dérivant d ? un produit scalaire Norme sur E Norme dérivant d ? un produit scalaire Théorème de Pythagore Orthogonalité Orthonormalité Orthogonalité Orthogonal d ? une partie Famille orthogonale orthonormale Théorème et procédé de Schmidt Projection orthogonale Espaces Vectoriels Euclidiens Prod scal dans une base ortonormale Matrice d ? une forme bilinéaire Endomorphisme orthogonal Matrice orthogonale Isométries Vectorielles Symétries orthogonales Isométries vectorielles du plan Isométries vectorielles de l ? espace Rotations vectorielles de l ? espace Endomorphismes Symétriques Endomorphismes symétriques Réduction dans une base orthonormale Réduction en dimension Identi ?cation d ? une conique Petits rappels sur les coniques Compléments Avec Maple Les mathématiciens du chapitre Dans tout le chapitre E est un espace vectoriel sur R Produit Scalaire sur E Forme bilinéaire symétrique sur E E? E ? Dé ?nition Soit ? R u v ? ? u v F F F F F F F F ??u ?? E On dit que ? est bilinéaire symétrique sur E ?? ??v ?? E F F F F F F ??u v ?? E ?u v ? ?u v ? u v est linéaire ?v u ? ?v u ? u v est linéaire ? u v ? v u Théorème Pour montrer qu ? une forme est bilinéaire symétrique il suf ?t de montrer qu ? elle est linéaire par rapport à une variable au choix et qu ? elle est symétrique F F F F F F ?? ? ?? R F F Démonstration On sait ??u u u ?? E F F F F F F ??v ?? E ? ? u u v ? ? u v ? u v ? u v ? v u D ? o? ? u ? v v ? ? v v u ? ? v u ? v u ? ? u v ? u v en faisant jouer la symétrie et la linéarité par rapport à chaque variable On obtient bien la deuxième linéarité Forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétrique Dé ?nition Une forme quadratique sur Rn est une application de Rn ? R qui se met sous la forme d ? un polynôme homogène de degré des coordonnées du vecteur de Rn Théorème Si ? est une forme bilinéaire symétrique sur E alors q quadratique c ? est la forme quadratique associée à ? E ?R est une forme u ? q u ? u u Cours de Spé T S I c Christophe Caignaert ?? Lycée Colbert ?? Tourcoing ?? http c caignaert free fr C - Espaces vectoriels préhilbertiens et euclidiens On a q ? u ? q u ce qui prouve que q n ? est pas linéaire Théorème Si q une forme quadratique sur E alors ? E ? E ? R dé ?nie par ? u