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Examen1 mva013 corrige cle0cfa31

MVA CNAM - Paris Corrigé de l ? examen session du février - Exercice On considère la fonction f x ? x ln x La fonction x ? x est dé ?nie sur R et la fonction x ? ln x est dé ?nie sur R ? Donc f est dé ?nie sur R ? Df R ? f est dérivable sur R ? et on a f x x ln x x x f x x ln x x x ln x x car Df R ? donc f x est du signe de ln x Etudions donc le signe de ln x ln x si et seulement si ln x ?? soit x e ?? e ou encore x ?? e Comme la fonction ln est croissante ln x si x ?? e et ln x si x ?? e En ?n on calcule f ?? e ?? e On en déduit le tableau de variations de f x ?? e ? f x ?? ? f x ?? e lim f x lim x ln x ? x ? ? x ? ? lim f x lim x ln x x ? x ? On a lim f x ? x ? ? f x De plus lim lim x ln x ? x ? ? x x ? ? Donc le graphe de f admet une branche parabolique parallèle à l ? axe des y au voisinage de ? Remarque f est prolongeable par continuuité en en posant f On déduit de tout ce qui précède la courbe représentative de f CMVA CNAM - Paris - CMVA CNAM - Paris - Exercice I xe ??xdx On pose u x x u x v x ??e ??x v x e ??x Alors I ??xe ??x I ??xe ??x ?? e ??x I ?? x e ??x I ?? e e ??xdx I arctan x dx On pose u x arctan x u x x v x x v x Alors I x arctan x ?? x ? x I ?? I ? ?? ln x ? ln I ?? I ex sin x dx On pose u x sin x ? u x cos x v x ex v x ex Alors I ex sin x ?? ex cos x dx Soit J ex cos x dx Alors I e sin ?? J Posons u x cos x u x ?? sin x v x ex v x ex Alors J ex cos x ex sin x dx J e cos ?? I Et I e sin ?? e cos ?? ?? I Donc I e sin ?? e cos ?? e sin ?? e cos ?? Et I x x Exercice On cherche la solution générale yH t de l ? équation homogène H y t y t y t H est une équation di ?érentielle linéaire du second ordre et à coe ?cients constants Son équation caractéristique est r r ?? On a ? ??