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Examen 2021 mouliste 1 b' ? x nlnb É rra l'Educrtta Xr oû d L Fodaüon Prsrra l ?lb aL l'E rlemnt tuÊa bsr t L RGh ? ha tclslria Calr Nralold d fÉvelsttior ct da Erru ?xamenNatlonal du Brevet de Techniden Supérianr Segsion de Mai ? Sujet - Mair? aancc Auom

b' ? x nlnb É rra l'Educrtta Xr oû d L Fodaüon Prsrra l ?lb aL l'E rlemnt tuÊa bsr t L RGh ? ha tclslria Calr Nralold d fÉvelsttior ct da Erru ?xamenNatlonal du Brevet de Techniden Supérianr Segsion de Mai ? Sujet - Mair? aancc Auomobilc Encrgétiguc Matiè? e Plastiguct ct C ompoeiteo C-onception du Produit Industricl Ehctromécaaique et ?yeêmcr ? utomatiréa Mathématiques Exercice On considère dans CI l'équation - L Zi z i pt L Montrer que le discriminant de E est A - i pt Resoudre dans l'équation E pt Ecrire les solutions de E sous forme trigonométrique poidi Exerciee II Les parties I et de cet exercice sont indépendantes l Partie f On considère l'intégrale généralisée suivante I irl f Montrer que est convergente ' r- r- r ' on pose a lr A -dr pour tout a a Montrer que I a ln a - - ln a - n pr b En déduire la raleur de points xrf - ra II Partie Étudier la nature de chacune des séries numériques suivantes I ' t r f 'e i on rpourra utiliser le critère de Cauchy I ' r n 'nt ? - t -t n ?tn n l ? O pourra utiliser le critère de D'Alembert Cde l'Examen National du Brevet de Technicien Supérieur M? - Eaetgétiquc- MPC- CPI- ESÀ- Ptoductique-Mouüstc Session de Mai Épreuve Methématiques Exercice Soit la fonction dé ?nie sur IRz pa r points ? b ? a Y -sYx Y pr calcuter ?A y ? ? pt f En déduire que admet un seul point critique que l'on déterminera pts Calculer rr ? ? ? y etdéduire la nature du point critique de Exercice points On considère l'endomorphisme de IR dé ?ni par f r y r - y r y SoitB er e labasecanoniquedelR onrappelleeu e ete pt O ii pi rt û pi i pt t pt pt ipt Montrer que la matrice de dans ia base est I - - Montrer que le polynôme caractéristique de est P À À I En déduire les raleurs propres Àr et Àz de o? À À Soit B' ur u o? rr et u L' a Établir que B'est une base de lRz b Montrer eüe u et u sont des vecieurs propres de associés respectivement aux vaieurs propres À et À l-r r Donner la matrice de passage P de B à ' et véri ?er eue P- I z - Déterminer la matnce diagonale D véri ?ant A PDP-L Calculer An en fonction de n pour tout n É IN Sin c épcanoe C ?