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Exercices complexes corrige 1

octobre Exercices corrigés sur les complexes ? Exercice Forme algébrique Mettre sous forme algébrique z a ib avec a b ?? R les complexes suivants z i ?? i C ? est une fraction on multiplie numérateur et dénominateur le complexe conjugué du dénominateur pour se ramener à dénominateur positif z i i ?? i i i i ?? i ?? i ?? i z i ??i ?? i i On réduit tout le monde au même dénominateur i ?? i qui a le bon goût d ? être réel z i i ??i i ?? i ??i i ??i i ?? i z i ??i On peut adopter deux approches i mettre i ??i sous forme algébrique avant de l ? élever au carré ou ii l ? élever au carré avant de le mettre sous forme algébrique en se ramenenant à un numérateur réel On va adopter l ? approche i mettre i ??i sous forme algébrique en se ramenant à un numérateur réel puis l ? élever au carré i ??i i i ??i i i i et on a donc z i ? i ?? i ?? z i Déjà sous forme algébrique z ?? ?? ??i On se ramène à un dénominateur réel en multipliant par le complexe conjugué ?? ?? ?? z ?? ?? i ?? ??i i ?? i ?? i z i ??i On commence par calculer i et ?? i On remarque que i i i i i ?? i ?? ?? i On a donc i i ?? ? ?? i z se simpli ?e donc en z ?? ??i Comme ?? i ?? i on a z i ?? i ?? Remarq ??ue On peut résoudre l ? exercice plus ?? i e ??i ? d ? o? on tire aisément z s ??i ??m p ele ??e im ?i ? e nt en ??no t a net qi ?u e i e ??i ? ei ? ?? i et z i ??i ?? i i i ??i ?? i ? ??i z i ??i i i ??i ?? i i ?? i i ?? i ?? z e i ? cos ? i sin ? ?? i z ei ? e ?? i ? ei ? ?? z ei ? ? e ?? i ? e ??i ? ?? i z ei ? e i ? e ?? ? e ?? ? Exercice Forme exponentielle Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants z i ??i On commence par mettre ?? i ?? sous forme exponentielle en faisant ?? appara? tre son module i ?? i ?? cos ? i sin ? ei ? On montre avec un raisonnement similaire que ?? i ?? e ??i ? et on déduit z ?? ?? ei ? e ??i ? ei ? ?? ?? z i i cos ? i sin ? ei ? C ?? z ?? i On repart du résultat intérmédiaire de ?? ei ? pour déduire