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Exercices corriges 2 Exercices - Equations di ?érentielles linéaires du second ordre - Résolution - applications corrigé Résolution pratique - méthodes générales Exercice - Equation du second ordre à coe ?cients constants - L Math Sup - On commence par ré

Exercices - Equations di ?érentielles linéaires du second ordre - Résolution - applications corrigé Résolution pratique - méthodes générales Exercice - Equation du second ordre à coe ?cients constants - L Math Sup - On commence par résoudre l ? équation homogène y ?? y y Son équation caractéristique est r ?? r dont est racine double Les solutions générales de l ? équation homogène sont donc les fonctions x ? ?ex xex Comme n ? est pas racine de l ? équation caractéristique on va chercher une solution particulière sous la forme d ? un polynôme de degré Mais y x ax b est solution de l ? équation di ?érentielle si et seulement si ??x ?? R ?? a ax b x ? ?? a et b Les solutions de l ? équation sont donc les fonctions de la forme x ? ?ex xex x Si on ajoute les conditions y y on obtient les équations ? et ? soit ? ?? et La seule solution de l ? équation est donc la fonction x ? x ?? ex x On commence par résoudre l ? équation homogène y ?? y y Son équation caractéristique est r ?? r dont les racines sont et Les solutions de l ? équation homogène sont donc les fonctions x ? ?ex e x Comme - n ? est pas racine de l ? équation caractéristique on cherche une solution particulière sous la forme y x ax b e ??x En dérivant on trouve y x ??ax ??b a e ??x y x ax b ?? a e ??x et donc a et b sont solutions du système a b ?? a On résoud ce système et on trouve qu ? une solution particulière est donnée par y x x e ??x Finalement les solutions de l ? équation avec second membre sont les fonc- tions de la forme x ? x e ??x ?ex e x ? ?? R http www bibmath net CExercices - Equations di ?érentielles linéaires du second ordre - Résolution - applications corrigé L ? équation homogène a déjà été résolue à la question précédente Pour résoudre l ? équation avec second membre on remarque cette fois que est racine simple de l ? équation caractéristique On cherche donc une solution particulière sous la forme y x ax bx ex on peut trouver un polynôme sans terme constant car la fonction x ? ex est solution de l ? équation homogène On dérive pour trouver y x ax a b x b ex et y x ax a b x a b ex Par identi ?cation a et b sont solutions du système ?? a a ?? b On obtient comme solution a ?? et b La solution générale de l ? équation avec second membre est donc donnée par la formule y ? ??x x ex ?ex e x ? ?? R L ? équation homogène y y admet pour équation caractéristique associée r dont les