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UNIVERSITE D’ANTANANARIVO FACULTE DE DROIT, D’ECONOMIE DE GESTION ET DE SOCIOLO

UNIVERSITE D’ANTANANARIVO FACULTE DE DROIT, D’ECONOMIE DE GESTION ET DE SOCIOLOGIE DEPARTEMENT GESTION Mention : Gestion Parcours : Gestion appliquée aux entités Niveau : L2 Semestre : S3 Unité d’Enseignement :UE2 Elément Constitutif : STATISTIQUE ET PROBABILITES Elément : n°2 Madame RAVALITERA Farasoa Enseignant-chercheur Université d’Antananarivo Avertissement : Ce document est réservé uniquement aux étudiants légalement inscrits au cours de l’année universitaire 2016 à la Formation Ouverte à Distance (FOAD) en Sciences de Gestion de l’Université d’Antananarivo. Toute reproduction intégrale ou partielle faite, par quelque procédé que ce soit, sans l’accord du Département Gestion de l’Université d’Antananarivo est donc strictement interdite. Année universitaire : 2016 UNIVERSITE D'ANTANANARIVO FAC DEGS - FOAD GESTION INTERDICTION: PHOTOCOPIE ET REPRODUCTION STATISTIQUE ET PROBABILITES FOAD GESTION : 2016 Interdiction : Photocopie et reproduction - Réf : foadgestion-degs/tanà/2016/L2/S 3/UE2/STAT/2 2 CHAPITRE II : CALCUL DES PROBABILITES (SUITE ET FIN) 4. PROBABILITE DE BAYES 3.1 Problème de BAYES On considère 2 urnes U₁ et U₂ contenant des boules blanches et noires. Pour U₁ : proportion de { ₁ ₁ tel que : ₁ ₁ 1 Pour U₂ : proportion de { ₂ ₂ tel que : ₂ ₂ 1ère opération : On choisit d’une manière aléatoire une des urnes, 2ème opération : de cette urne choisie, on tire une boule. Questions : a) Calculer la probabilité que la boule tirée après la 2ème opération soit blanche. b) Sachant que la boule tirée à la 2ème opération est blanche, quelle est la probabilité que cette boule provienne de U₁ ? 3.2 Solution Soient les évènements suivants : A₁ : « l’urne de la 1ère opération est U₁ » A₂ : « l’urne de la 1ère opération est U₂ » B : « la boule tirée à la 2ème opération est blanche » N : « la boule tirée à la 2ème opération est noire ». a) Pr(B) : Probabilité que la boule tirée après la 2ème opération soit blanche. Cela veut dire B : « avoir une boule blanche de l’urne U₁ ou de l’urne U₂ » Or : « avoir une boule blanche de l’urne U₁ » = « choisir l’urne U₁ d’abord et ensuite tirer une boule blanche de l’urne U₁ » Donc : Pr(A₁ ∩B) = Pr(U₁ ) x Pr( B/A₁ ) De même : « avoir une boule blanche de l’urne U₂ » = « choisir l’urne U₂ et tirer une boule blanche de l’urne U₂ » En conclusion : Pr(B) = Pr(U₁ ) x Pr( B/A₁ ) + Pr(U₂ ) x Pr(B/A₂ ) (probabilité totale) b) Sachant que la boule tirée à la 2ème opération est blanche, quelle est la probabilité que cette boule provienne de U₁ ? UNIVERSITE D'ANTANANARIVO FAC DEGS - FOAD GESTION INTERDICTION: PHOTOCOPIE ET REPRODUCTION STATISTIQUE ET PROBABILITES FOAD GESTION : 2016 Interdiction : Photocopie et reproduction - Réf : foadgestion-degs/tanà/2016/L2/S 3/UE2/STAT/2 3 La probabilité à déterminer est de la forme : Pr(A₁ /B) On sait que : Pr(A₁ /B) = ₁ (probabilité conditionnelle) Or : ₁ = Pr(A₁ ) x Pr(B/A₁ ) Donc : Pr(A₁ /B) = ₁ ₁ Pr(A₁ /B) = ₁ ₁ ₁ ₁ ₂ ₂ (probabilité de BAYES) Si l’on pose : Pr(A₁ ) = ∏₁ ; Pr(A₂ ) = ∏₂ ; Pr(B/ A₁ ) = p₁ ; Pr(B/A₂ ) = p₂ Alors : Pr(A₁ /B) = ₁ ₁ ₁ ₁ ₂ ₂ 3.3 Théorème de BAYES (cas général) Si A₁ , A₂ , … , constituent une partition de E et tel que pr( ) 0 et j alors Pr( /B) = ( ) ∑ Remarque : on dit que la probabilité de BAYES est une probabilité à postériori car on sait déjà le résultat de la 2ème opération. 3.4 Exemple Les membres d’un groupe de touristes louent des voitures appartenant à 3 agences de location. 60% des voitures proviennent de l’agence n°1, 30% des voitures de l’agence n°2 et 10% de l’agence n°3. 9% des voitures provenant de l’agence n°1 ont besoin d’une mise au point, 20% des voitures provenant de l’agence n°2 ont besoin d’une mise au point et 6% de l’agence n°3. 1) Quelle est la probabilité qu’une voiture livrée au groupe touristique ait besoin d’une mise au point ? 2) Sachant qu’une voiture livrée aux touristes a besoin de mise au point, quelle est la probabilité qu’elle provienne de l’agence n°2 ? Solution Soient les évènements ci-après : B : « la voiture a besoin de mise au point » A₁ : « la voiture provient de l’agence n°1 » A₂ : « la voiture provient de l’agence n°2 » UNIVERSITE D'ANTANANARIVO FAC DEGS - FOAD GESTION INTERDICTION: PHOTOCOPIE ET REPRODUCTION STATISTIQUE ET PROBABILITES FOAD GESTION : 2016 Interdiction : Photocopie et reproduction - Réf : foadgestion-degs/tanà/2016/L2/S 3/UE2/STAT/2 4 A₃ : « la voiture provient de l’agence n°3 » 1) La voiture livrée qui a besoin d’une mise au point peut provenir de A₁ , A₂ ou A₃ . ⇒ B = (B ₁ ₂ ₃ Pr(B) = [Pr(A₁ ) x Pr(B/A₁ )] +[(Pr(A₂ ) x Pr(B/A₂ )] +[(Pr(A₃ ) x Pr(B/A₃ )] Pr(B) = (0,6 x 0,09) +(0,3 x 0,2) + (0,1 x 0,06) 2) P(A₂ /B) = ₂ ₂ Exercice 20 : La JIRAMA a deux sortes de clientèle : - les abonnés en électricité uniquement, - les abonnés mixtes c’est-à-dire, en électricité et en eau. On a procédé à une enquête dans trois villes V1, V2, V3 et on a dénombré respectivement 8/10, 9/10, 7/10 d’abonnés mixtes. Les fichiers de base donnent les effectifs des ménages consommateurs suivants : 150 dans la ville V1, 90 dans la ville V2 et 120 dans la ville V3. 1) Sachant que dans la constitution d’échantillon on a tiré un client abonné en électricité uniquement, quelle est la probabilité qu’il soit de la ville V2 ? 2) Même question si les trois villes ont la même probabilité d’être choisies. Exercice 21 : Trois grandes entreprises E1, E2, E3 se disputent un marché de construction de route à la suite d’un appel d’offre. Chacune de ces trois entreprises possède respectivement les probabilités 1/3, ¼, 5/12 d’obtenir le marché. Compte tenu de l’envergure du marché et du temps imparti, il est d’usage que le titulaire du marché confie certains travaux spécifiques à un sous-traitant. Si l’entreprise E1 obtient le marché, elle choisira la société BTP comme sous-traitant avec la probabilité 1/5. Si l’entreprise E2 l’emporte ; elle choisira BTP comme sous traitant avec la probabilité ½ et si c’est E3 qui gagne le marché, elle prendra BTP comme sous-traitant avec la probabilité 3/5. 1) Quelle est la probabilité que la société BTP soit choisie comme sous-traitant 2) A l’issue du dépouillement, la société BTP a obtenu le contrat de sous-traitance, calculer la probabilité qu’il provienne de l’entreprise E2. UNIVERSITE D'ANTANANARIVO FAC DEGS - FOAD GESTION INTERDICTION: PHOTOCOPIE ET REPRODUCTION STATISTIQUE ET PROBABILITES FOAD GESTION : 2016 Interdiction : Photocopie et reproduction - Réf : foadgestion-degs/tanà/2016/L2/S 3/UE2/STAT/2 5 CHAPITRE III : SCHEMA DE TIRAGE PROBABILISTE EN MODELE DES URNES 1. POSITION DU PROBLEME On considère une urne contenant N boules identiques mais de couleurs différentes : N₁ de couleur 1 avec une proportion p₁ N₂ de couleur 2 avec une proportion p₂ Ni de couleur i avec une proportion pi Nk de couleur k avec une proportion pk Tel que : N= N₁ + N₂ + -------+Ni +------+ Nk et pi = On tire au hasard de cette urne un échantillon de taille n et on a : n₁ de couleur 1 n₂ de couleur 2 de couleur i de couleur k tel que : n = + + On peut représenter l’échantillon sous la forme de ( répartition. Quelle est la probabilité de cette répartition ? 1er cas : on tire d’un coup les n boules 2ème cas : On tire une à une les n boules 2. RESOLUTION DU PROBLEME 1er cas : tirage simultané des n boules (tirage d’un coup) Cas possibles : Cas favorables : ₂ ₂ ₁ ₂ ₂ ₁ Exemple : une urne contient 3 boules blanches, 2boules noires et 2 rouges. On tire simultanément 2 boules de cette urne. Calculer les probabilités des différentes répartitions possibles ? On a 6 répartitions possibles de : (B * N * R) UNIVERSITE D'ANTANANARIVO FAC DEGS - FOAD GESTION INTERDICTION: PHOTOCOPIE ET REPRODUCTION STATISTIQUE ET PROBABILITES FOAD GESTION : 2016 Interdiction : Photocopie et reproduction - Réf : foadgestion-degs/tanà/2016/L2/S 3/UE2/STAT/2 6 (2*0*0) ⇒ Pr (2*0*0) = (0*2*0) ⇒ Pr (0*2*0) = (0*0*2) ⇒ Pr (0*0*2) = (1*1*0) ⇒ = (0*1*1) ⇒ Pr(0*1*1)= (1*0*1) ⇒ Pr(1*0*1) = 2ème cas : on tire une à une a) Le tirage est sans remise (tirage exhaustif) On considère une urne contenant 5 boules blanches, 3 noires et 2 rouges. On effectue 3 tirages exhaustifs. Quelle est la probabilité de tirer une boule de chaque couleur ? La répartition du cas favorable « avoir 1 boule de chaque couleur » est (1*1*1) Dénombrons les cas favorables : 1er tirage 2ème 3ème résultats N R B uploads/Management/ orca-share-media1543157305757.pdf