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Exercices corriges transformee de laplace 1

Exercices corrigés -Transformée de Laplace Plutôt pour master Enseignement Exercice - Abscisse de convergence Signaler une erreur Ajouter à ma feuille d'exos Enoncé Déterminer l'abscisse de convergence de la transformée de Laplace des fonction suivantes t e cos ?t ? ?? R cosh at a n ?? t t e n ? Indication Corrigé On a ??pt t e e cos ?t ? ?? p ?? t e Cette dernière fonction est bornée au voisinage de ? si p ? De plus si p choisissant t on a k ? ??pt t ??p t e e cos ?t e ? ? si k ? ? ? Ainsi on a prouvé que l'abscisse de convergence est égale à Par croissance comparée des fonctions polynômes et exponentielles on sait que pour tout n ? et tout p ?? ??pt ?? t n lim e e t t ? ? De plus si p ?? alors ??pt ?? t n lim e e t ? t ? ? ce n'est plus une forme indéterminée Donc l'abscisse de convergence est ?? Il faut faire attention à distinguer les cas a ? et a Si a ? on a at cosh at ?? ? e et donc la fonction ??pt e cosh at est bornée au voisinage de l'in ?ni si et seulement si p a Si a alors ??at cosh at ?? ? e et donc la fonction ??pt e cosh at est bornée au voisinage de l'in ?ni si et seulement si p ??a Dans tous les cas on a prouvé que l'abscisse de convergence est égale à a Exercice - A partir de la fonction échelon-unité Signaler une erreur Ajouter à ma feuille d'exos Enoncé Tracer le graphe et calculer la transformée de Laplace des fonctions suivantes U t ?? ?? U t ?? ? ? U t ?? n ?? U t ?? n n U t ?? t ?? Indication Pour la question déterminer les valeurs pour lesquelles la fonction est nulle Corrigé On distingue cas Si t alors U t ?? et U t ?? et la fonction est nulle Si t ?? alors U t ?? et U t ?? et la fonction vaut Si t ? alors U t ?? et U t ?? et la fonction est nulle On obtient donc le graphe suivant http www bibmath net ressources index php action a ?che quoi bde analyse transformees laplace type fexo C Exercices corrigés -Transformée de Laplace On calcule alors la transformée de Laplace de cette fonction soit en utilisant la transformée de Laplace de la fonction échelon-unité et le théorème du retard soit en utilisant l'expression de la fonction déterminée ci-dessus Avec cette dernière méthode on trouve que F p ? ??pt e ??p e ?? p ?? p e p La fonction est simplement la fonction t t mais tronquée à sa partie positive et retardée d'un temps égal à On obtient donc la courbe On sait de plus que L t U t