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Exercices variables aleatoires continues 1 pdf version 1

Université Mohamed V ENSET de Rabat FI GBM Variables aléatoires continues Exercices Exercice Soit ? et ?? tel que ? Calculer en fonction de les intégrales doubles ?? Exprimer en fonction de Véri ?er que ? ? En déduire e dx Exercice La fonction Gamma ou fonction eulérienne de première espèce est dé ?nie sur ? par ?? La fonction Beta ou fonction eulérienne de deuxième espèce est dé ?nie sur ? ? ? par ? ?? Montrer que la fonction ?? converge Soit x ? ? Calculer ?? en fonction de ?? En déduire ?? pour tout ?? ? Calculer ?? Evaluer ?? ?? Evaluer les intégrales ?? Montrer que ? ? C ?? ?? Montrer que ? ?? Indication ? calculer ?? ?? le changement de variable Montrer que ? ? et considérer Exercice Soit une variable aléatoire de densité de probabilités ?? Déterminer K Donner la fonction de répartition de Calculer Calculer l ? espérance mathématique de Calculer la variance de ?? ?? Exercice Soit une variable aléatoire de densité de probabilités Déterminer K ? Calculer Calculer la fonction génératrice des moments de Calculer l ? espérance mathématique de Calculer la variance de Exercice Une puce se déplace aléatoirement à l'intérieur d'un cercle de centre O et de rayon On note la variable aléatoire distance de la puce au centre Si on suppose que toutes les positions sont équiprobables Donner la fonction de répartition de Donner la densité de CExercice Soit X une variable aléatoire de densité de distribution ? Calculer la loi de Exercice Soit une variable aléatoire suivant la loi exponentielle c està dire ? Calculer la fonction de répartition de Déterminer la densité de la variable aléatoire ?? Déterminer la densité des la variables aléatoires Exercice Soit une variable aléatoire suivant la loi exponentielle peut etre par exemple la durée de vie d ? un matériel électronique c est à dire ? Trouver la fonction de répartition de Calculer et Calculer ? Application La durée de vie d ? un moteur suit une loi exponentielle On suppose que la durée de vie moyenne du moteur est de ans Donner la densité de On suppose que des clients ont été dépannés durant la garantie calculer la durée de la garantie CExercice Soit un réel strictement positif et la fonction dé ?nie sur par ?? ? Trouver pour que soit une densité de probabilité Soit X une variable aléatoire de densité dé ?nie sur par ?? ? - Déterminer la fonction de répartition de - Soit Donner la fonction de répartition de Exercice Soient et deux réels tel que et soit une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur de densité de probabilité ?? ?? ?? ? Calculer la fonction de répartition de Calculer et Calculer la fonction génératrice de Exercice Soit Z une variable aléatoire de loi normale centrée réduite de densité de probabilité Calculer et ?? Notons la fonction caractéristique de Trouver l ? équation di ?érentielle du er degré que véri ?e