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HAL Id: hal-00988885 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00988885 Submitted on 9 May 2014 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Modélisation mathématique de phénomènes variables, dans l’enseignement, à l’aide de la géométrie dynamique Sophie Soury-Lavergne To cite this version: Sophie Soury-Lavergne. Modélisation mathématique de phénomènes variables, dans l’enseignement, à l’aide de la géométrie dynamique. 2010. hal-00988885 Rapport de recherche Modélisation mathématique de phénomènes variables, dans l'enseignement, à l'aide de la géométrie dynamique Sophie Soury-Lavergne Conventions MIRA 08 034152 01 et 08 034154 01 Modélisation dynamique de phénomènes variables 2 MIRA – Rapport 2010 Modélisation dynamique de phénomènes variables 3 MIRA – Rapport 2010 Sommaire Préambule Partie 1 — Problématique 1 Quelle est la place de la modélisation dans l’enseignement scolaire ? 7 2 Grandes lignes du projet 8 2.1 Pourquoi les situations de covariation de deux grandeurs ? 8 2.2 Pourquoi le recours à des environnements de géométrie dynamique ? 9 3 Objectifs scientifiques 10 Partie 2 — Analyse des contextes institutionnels France et Viêt Nam 1 Quelle place occupe la modélisation fonctionnelle dans les différents systèmes d’enseignement ? 11 1.1 Notre point de vue sur ce qu’est un processus de modélisation en mathématique 11 1.2 Pourquoi les rares énoncés présents dans les manuels de mathématiques ne sont-ils pas des exercices de modélisation ? 12 1.2.1 Dans l’enseignement mathématique secondaire du Viêt nam 12 1.2.2 Dans l’enseignement mathématique secondaire français 13 1.3 Conclusion 13 2 Le concept scientifique de périodicité : analyse comparative de son enseignement au Viêt Nam et en France 13 2.1 Enseignement de la physique : deux modèles 14 2.2 Enseignement des mathématiques : les fonctions trigonométriques 16 2.3 Enseignement de la modélisation ? 17 3 Une enquête en fin de Lycée au Viêt Nam sur la modélisation de phénomènes de covariation périodique 18 3.1 Conception d’un questionnaire 18 3.2 Quelques éléments d’une première analyse globale 19 4 Conclusion 20 Partie 3 — Conception et expérimentation d’une ingénierie didactique de modélisation de phénomènes de covariation périodique 1 Choix fondamentaux retenus pour la conception de l’ingénierie 23 2 Processus de conception de l’ingénierie 24 2.1 Une situation de départ issue de problèmes habituels 24 2.2 Un processus de conception itératif 25 3 Une ingénierie sur la covariation périodique de grandeurs 26 3.1 Présentation globale de l’articulation des situations dans l’ingéniérie 26 Modélisation dynamique de phénomènes variables 4 MIRA – Rapport 2010 3.2 Situation d’initiation à Cabri (durée environ 45 minutes) 27 3.3 Situation 0 : situation préalable 29 3.3.1 Consignes données aux élèves et indications de déroulement pour l’enseignant 29 3.3.2 Description des stratégies des élèves : « report de mesure » et « compas » 30 3.4 Situation 1 : construction du modèle géométrique intermédiaire 30 3.4.1 Consignes données aux élèves et indications de déroulement pour l’enseignant 30 3.4.2 Analyse a priori des stratégies possibles et éléments du milieu pour le processus de modélisation de la covariation 32 3.4.3 Conclusion sur l’analyse a priori des stratégies pour le modèle géométrique intermédiaire 34 3.5 Situation 2 : élaboration d’une représentation du temps à partir du modèle intermédiaire 34 3.5.1 Consignes données aux élèves et indications de déroulement pour l’enseignant 34 3.5.2 Analyse a priori des stratégies possibles 36 3.5.3 Conclusion sur l’analyse a priori des stratégies de la première partie : quelle signification ces différentes stratégies ont-elles par rapport à la réalité modélisée ? 37 3.6 Situation 3 : problème de coïncidence pour motiver l’introduction de la périodicité 37 3.6.1 Consignes données aux élèves et indications de déroulement pour l’enseignant 39 3.6.2 Analyse a priori des solutions possibles pour la première série de questions 42 3.6.3 Analyse a priori des solutions possibles pour la deuxième partie 42 4 Expérimentations en France et au Viêt Nam 45 4.1 Expérimentation au Viêt Nam, décembre 2009 45 4.1.1 Déroulement et observables 45 4.1.2 Propositions d’évolution de l’ingénierie et questions 47 4.2 Expérimentation en France, juin 2010 48 4.2.1 Déroulement et observables 48 4.2.2 Conclusion 49 4.3 Expérimentation au Viêt Nam, novembre 2010 49 5 Résultats 50 Partie 4 — Diffusion des travaux 51 Références bibliographiques 53 Annexes 55 Modélisation dynamique de phénomènes variables 5 MIRA – Rapport 2010 Préambule Ce rapport présente les objectifs, le déroulement et les résultats du projet MIRA intitulé « Modélisation mathématique de phénomènes variables dans l'enseignement à l'aide de la géométrie dynamique » réalisé en collaboration entre l’équipe DIAM du Laboratoire d’Informatique de Grenoble de l’Université Joseph Fourier et l’équipe DDM de l’Université Pédagogique d’Ho Chi Minh Ville au Viêt Nam. Ce projet MIRA s’est déroulé de décembre 2009 à décembre 2010 avec le soutien financier de la région Rhône Alpes. Il constitue la première année d’un projet plus ample de même nom qui continuera de se dérouler sur deux ans. Le temps limité d’une année nous a amenés à nous centrer sur l’aspect majeur du projet qui consiste en la production de situations didactiques pour l’enseignement. Ainsi, à partir d’une étude de la place de la modélisation fonctionnelle (en particulier des phénomènes périodiques) dans les curricula des deux pays France et Viêt-Nam, nous avons conçu une ingénierie constituée de quatre situations qui conduisent un processus de modélisation de grandeurs covariantes et de phénomènes périodiques. L’ingénierie a été expérimentée à trois reprises, en France et au Viêt Nam. Les résultats obtenus permettent à la fois de valider les choix faits pour l’ingénierie et proposent de nouvelles pistes pour la recherche sur l’enseignement des processus de modélisation en mathématique. Le 17 décembre 2010 Sophie Soury-Lavergne avec la collaboration de Annie Bessot, Alain Birebent, Claude Comiti, Bernard Genevès, Colette Laborde, Lê Thai Bao Thien Trung et Nguyen Thi Nga Modélisation dynamique de phénomènes variables 7 MIRA – Rapport 2010 Partie 1 Problématique 1 Quelle est la place de la modélisation dans l’enseignement scolaire ? La modélisation a pris une place de plus en plus importante dans les programmes de mathématiques dans de nombreux pays. La modélisation permet de montrer l’utilité des mathématiques, de développer chez les jeunes des capacités critiques par rapport à la résolution des situations de la vie réelle, de préparer les jeunes à diverses activités professionnelles et de relier les mathématiques à d’autres disciplines (Blum et Niss 1991, Kaiser 1991). L’étude internationale PISA a choisi, pour évaluer les élèves sur leurs connaissances mathématiques, de les confronter essentiellement à des problèmes dans lesquels les mathématiques sont outils de modélisation. « … l’enquête PISA soumet essentiellement aux élèves des problèmes qui s’inscrivent dans des situations s’inspirant du monde réel. Ces situations sont conçues pour que des aspects mathématiques soient véritablement utiles à la résolution des problèmes. L’objectif de l’enquête PISA est de déterminer dans quelle mesure les élèves sont capables d’exploiter leurs savoirs et savoir-faire mathématiques pour résoudre des problèmes qui leur sont soumis. » (OCDE 2003, p. 40). Cette étude met en évidence, ainsi que d’autres recherches, l’intérêt récurrent dans tous les systèmes éducatifs pour la modélisation mathématique. Or il apparaît que la modélisation est le plus souvent donnée toute faite dans les exercices sans être problématisée (Rodriguez 2007). Comme l’écrit Coulange (1998), on peut distinguer deux directions possibles pour l’enseignement des mathématiques en rapport avec la modélisation mathématique : - la modélisation comme un moyen d’introduire des concepts mathématiques - l’enseignement même de la modélisation. Ces deux directions, enseignement de la modélisation et enseignement de concepts mathématiques par la modélisation, interagissent de façon dialectique. Nous adopterons ce point de vue dans notre projet. Parmi les concepts mathématiques outils de modélisation, les fonctions ont une place importante car elles permettent de modéliser les phénomènes variables ou évolutifs qui sont à la fois très présents dans réalité quotidienne et objets d’étude des disciplines scientifiques (finance, biologie, physique, économie, et.). Dans le cadre de ce projet : - nous nous centrerons sur la modélisation de phénomènes de variations et d’évolution, qui privilégie le champ conceptuel des fonctions ; - nous associerons à ces situations un logiciel de géométrie dynamique qui permet de modéliser des phénomènes de variation et d’évolution ; Modélisation dynamique de phénomènes variables 8 MIRA – Rapport 2010 - nous considérerons deux systèmes éducatifs, l’enseignement secondaire en France et au Viêt-Nam. Quelle pertinence scientifique y a-t-il à considérer ces deux systèmes éducatifs ? Au Viêt-Nam, la notion de fonction est introduite en classe 7 (équivalent de la classe de cinquième française). Même si les situations introduisant les fonctions peuvent être interprétées comme donnant lieu à modélisation, cette dernière en tant que telle est absente des programmes et des livres pour les enseignants et les élèves. Par la suite, l’enseignement est fortement algébrisé, en particulier dans le domaine de l’analyse et des fonctions, ce qui pose le problème uploads/Management/ rapport-mira-2010-soury-lavergne.pdf