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Feuille2 corrige 1 Universite ? de Provence Anne ?e Licence Mathe ?matiques- Informatique parcours Me ?canique- e me anne ?e T D de Calcul Scienti ?que Corrige ? des exercices de la feuille n ? Exercice Soit le syste me d ? e ?quations di ?e ?rentielles d

Universite ? de Provence Anne ?e Licence Mathe ?matiques- Informatique parcours Me ?canique- e me anne ?e T D de Calcul Scienti ?que Corrige ? des exercices de la feuille n ? Exercice Soit le syste me d ? e ?quations di ?e ?rentielles du dt u du dt u ?? u avec des conditions initiales donne ?es en t Re ?soudre ce systeme d ? e ?quations diffe ?rentielles de deux manieres a De ?terminer u par la premiere e ?quation est injecter le re ?sultat dans la deuxieme e ?quation Corrige ? La solution de la premie re e ?quation est bien su r u e t a avec a la condition initiale u a Injectant cette solution dans la deuxie me e ?quation on doit re ?soudre du dt e t a ?? u Comme il a e ?te ? rappele ? dans le chapitre de la partie du cours la solution u v w est la somme d ? une solution ge ?ne ?rale v de l ? e ?quation homogene et d ? une solution particuliere w Donc v est solution de dv ??v dt et donc v e ??t b avec b par exemple la condition initiale u b La solution particulie re s ? e ?crit par la me ?thode de la variation de la constante w c t e ??t et si on injecte cette fonction dans l ? e ?quation on trouve e ??t dc e t a donc dc ae t dt dt et une solution qui s ? annule en t dans ce cas la constante b de la solution ge ?ne ?rale correspond bien a la condition initiale u est Zt c t a e s ds a e t ?? et w a e t ?? e ??t CPar conse ?quent u t e ??t b a e t ?? e ??t b Ecrire le systeme sous la forme et trouver la solution a l ? aide de etA d u Au dt Corrige ? La matrice A s ? e ?crit A ?? et les valeurs propres de cette matrice sont ? et ? ?? en e ?et A est triangulaire et les e ?le ?ments sur la diagonale d ? une matrice triangulaire sont aussi les valeurs propres de la matrice On rappelle que si x est vecteur propre associe ? a la valeur propre ? d ? une matrice alors x est solution non nulle de l ? e ?quation A ?? ?I x Ici pour ? on trouve x ?? x et donc x T est vecteur propre associe ? a ? Pour ? ?? on trouve x et donc x T est vecteur propre associe ? a ? Soit donc P la matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres alors A PDP ?? avec D ?? P ?? ?? Comme il a e ?te ? de ?montre ? dans la partie cours on peut e ?crire etA PetDP ?? l ?