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Fonction exponentielle Mme Morel-TS La fonction exponentielle Propri ?et ?es de la fonction exponentielle Les d ?emonstrations ?gurant dans ce cours sont a conna tre Premiers r ?esultats On a d ?ej a vu que exp exp exp pour tout x r ?eel exp x exp ??x et

Mme Morel-TS La fonction exponentielle Propri ?et ?es de la fonction exponentielle Les d ?emonstrations ?gurant dans ce cours sont a conna tre Premiers r ?esultats On a d ?ej a vu que exp exp exp pour tout x r ?eel exp x exp ??x et exp x L ? ?equation di ? ?erentielle y y avec y Le nombre e La loi de d ?esint ?egration radioactive Voir le livre p et le TP fait sur Excel R ?esolution approch ?ee par la m ?ethode d ? Euler Voir les exercices faits en classe et les exercices r ?esolus du livre pages et R ?esolution On note e le r ?eel exp On a donc e lim n n ? ? n En prenant di ? ?erentes valeurs de n on obtient par exemple a la calculatrice des valeurs approch ?ees du nombre e Vous devez savoir que e ?? Propri ?et ?es alg ?ebriques Proposition Pour tout r ?eel x exp ??x exp x Th ?eor eme Il existe une unique fonction f d ?erivable sur R telle que f f et f Pour tout x et y r ?eels exp x y exp x ? exp y la fonction exponentielle transforme les sommes en produits D ?emonstration Existence Cette existence peut se montrer a l ? aide de suites adjacentes La d ?emonstration n ? est pasa conna tre Elle sera faite ult ?erieurement Pour tout x et y r ?eels exp x ?? y exp x exp y Cons ?equence de l ? existence d ? une solution pour tout x ?? R f ??x f x et f ne s ? annule pas sur R Pour tout x r ?eel on pose x f x f ??x f ?etant d ?erivable sur R l ? est aussi Pour tout r ?eel x on a x ??f ??x f x f ??x f x ??f ??x f x f ??x f x Donc est constante sur R pour tout x r ?eel f ??x f x x f ? f On en d ?eduit alors que f ne s ? annule pas sur R Unicit ?e Soient f et g deux solutions au probleme pos ?e Montrons que f g D ? apres le point pr ?ec ?edent on a en particulier f x f ??x et f ??x pour tout x r ?eel Donc f x g x ?? f x f ??x g x f ??x ?? g x f ??x Montrons donc que la fonction h d ?e ?nie sur R par h x f ??x g x est constante ?egale a f et g ?etant d ?erivables sur R h l ? est aussi Pour tout x r ?eel h x ??f ??x g x f ??x g x Donc h est constante sur R Par cons ?equent pour tout x r ?eel h x h c ? est-a-dire pour tout x r ?eel f ??x g x D ? ou f