93 Unité 4 : La multiplication et la division La méthode de Singapour aborde de
93 Unité 4 : La multiplication et la division La méthode de Singapour aborde de manière parallèle la multiplication et la division, comme elle l’avait fait pour l’addition et la soustraction. L’approche concrète permet d’aborder sans risque de confusion les notions de commutativité de la multiplication ainsi que les deux sens de la division : la division-partage (partition) et la division-groupement (quotition). Les sens de la multiplication et de la division À l’école primaire, les propriétés des opérations sont très souvent utilisées de manière implicite. Même si elles ne sont pas nommées, elles sont à expliciter et à illustrer par des exemples. La commutativité de la multiplication permet d’une part de travailler le sens de l’égalité a × b = b × a. La représentation en rectangles se prête particulièrement bien à la mise en évidence de cette propriété. Toutes les situations de ce chapitre sont illustrées de manière à pouvoir compter les quantités en jeu : l’accent est donc mis non sur la technique opératoire mais sur la compréhension des opérations, de leurs relations réciproques et de leurs propriétés. La division est l’opération inverse de la multiplication. On peut diviser un nombre a « le dividende » par un nombre b « le diviseur » lorsqu’il existe un nombre q « le quotient » tel que : a ÷ b = q et b × q = a. La divi- sion correspond dans ce cas à un partage équitable. Les élèves ont découvert en CP le sens de la division avec les notions de partage (partition) et de groupement (quotition) : dans le premier cas, on cherche le nombre d’éléments par part ; dans le second, on cherche le nombre de parts. Dans cette unité, les élèves appro- fondissent ces notions et apprennent à utiliser un nou- veau signe opératoire : celui de la division. Aborder la division-groupement dès le CE1 est essentiel car, sans cela, l’élève risque de se faire une image mentale incomplète de la division. Quand il devra, plus tard, diviser par une fraction (par exemple, diviser par 1 2 ) il ne pourra pas concevoir qu’il soit possible de parta- ger une quantité par demi-personnes ! En revanche, la division-groupement permet de diviser 3 pizzas en de- mi-parts (donc diviser 3 par 1 2 et obtenir 6 demi-parts). Quatre fois cinq ou cinq fois quatre ? Dans la méthode de Singapour, et dans la plupart des pays du monde, 4 × 5 désigne 5 + 5 + 5 + 5. On peut le lire : « 4 fois 5 » ou « 4 groupes de 5 » : 5 est le multiplicande (le nombre ou la quantité répétée) c’est un « nombre concret » c’est-à-dire avec potentiel- lement une unité, une valeur, un sens, un nom ; et 4 est le multiplicateur (le nombre de répétitions) : il n’a pas d’unités. Il est important, surtout au CP et CE1, de lire la multiplication avec son sens concret. Ainsi, selon les contextes, 4 × 5 se lira « 4 fois 5 tomates » ou « 4 groupes de 5 tomates ». Ce sens d’écriture est contraire à une certaine tradition française, qui est de mettre le multiplicande en premier et le multiplicateur en second. En France, on a l’habitude en effet de traduire 5 + 5 + 5 + 5 par l’écriture 5 × 4 (par exemple : 5 tomates × 4). L’avantage de la convention française est qu’on va du concret vers l’abstrait : 5 tomates (concret) × 4 (abstrait) et que les élèves ne risquent pas de penser que dans l’expression 4 × 5, 4 et 5 représentent des tomates. À l’inverse, son inconvénient est qu’on ne peut lire la phrase, pourtant familière aux enfants, « 4 fois 5 tomates », qu’en inversant l’ordre de lecture. Le choix fait par Singapour de la deuxième convention va donc dans le sens de la pédagogie de l’enfance. C’est celle que nous avons choisi d’adopter. Cette distinction peut paraître anodine puisque la com- mutativité de la multiplication va rapidement rendre in- différent l’ordre d’écriture. Ce n’est pourtant pas le cas pour des élèves de CP et CE1 qui découvrent la multipli- cation, et pour qui les nombres doivent rester concrets. Il est donc extrêmement important d’être cohérent et de ne pas utiliser les deux écritures indistinctement. Ainsi, il ne faut pas induire une mauvaise compréhen- sion de la commutativité de la multiplication. Dire que 5 tomates × 4 = 4 × 5 tomates, ce n’est pas la commuta- tivité mais une simple équivalence entre deux conven- tions d’écriture (internationale et française), deux fa- çons différentes d’écrire « 4 groupes de 5 tomates ». En revanche, l’égalité 4 × 5 tomates = 5 × 4 tomates est une véritable propriété de la multiplication qui consiste à dire que 4 groupes de 5 tomates font un même total que 5 groupes de 4 tomates – propriété rendue manifeste et visible dans les présentations en tableau à double entrée ou grille, où les « groupes » sont formés alternativement par les lignes et les co- lonnes (cf. Fichier 1, bas de la page 81). Difficultés d’apprentissage rencontrées par les élèves • Confondre addition de groupes égaux et addition de quantités différentes, et donc utiliserr la multiplica- tion à mauvais escient. • Ne pas distinguer la division-partage de la division- groupement. • Appliquer la commutativité de la multiplication à la division. • Avoir du mal à faire le lien entre multiplication et division. Unité 4 • La multiplication et la division 94 1 Étude de l’illustration pleine page Projetez l’illustration page 78 du fichier 1. Laissez un temps d’observation, puis questionnez les élèves : « Où se passe la scène, à votre avis ? Combien d’enfants sont installés autour de chaque table ? Que font-ils ? Que font les adultes ? » Laissez les élèves décrire la nourriture contenue dans les assiettes et sur le plateau : « Quels sont ces aliments ? » (Prunes, madeleines, fromage, abricots). « À quel moment du repas correspond cette illustration ? » (Le dessert). Vous pouvez faire le lien avec un travail en sciences sur l’alimentation à propos des catégories d’aliments (les produits laitiers pour le fromage, l’apport en sucre des fruits et des gâteaux) ainsi que la notion d’équilibre alimentaire. Sur le buffet de la cantine, faites observer la répartition des aliments : « Combien de parts de fromage et de madeleines dans une assiette ? » (2). Demandez aux élèves de noter sur leur ardoise le nombre total de madeleines puis d’expliquer comment ils s’y sont pris pour calculer. Procédez de la même façon pour les parts de fromage. On peut compter un par un ou bien deux par deux. Demandez combien d’assiettes la cantinière peut encore remplir avec les fromages qui lui restent ? (Il en reste 5 sur le plateau, plus celui qu’elle a dans les mains, donc elle peut remplir 3 assiettes.) Au premier plan, faites observer les plateaux de fruits. Un élève lit le phylactère d’Adèle : « A-t-elle raison ? » (Oui). « Pourquoi ? » Vous pouvez mimer la distribution : 1 pour Maël, 1 pour Alice, 1 pour Adèle puis à nouveau 1 chacun ; ou encore tester son hypothèse : 2 pour Maël, puis 2 pour Alice, puis 2 pour Adèle. Procédez de la même façon pour les prunes. Indiquez aux élèves que cette unité va leur apprendre le sens de deux opérations : la multiplication et la division. La multiplication permet de compter plusieurs groupes égaux et la division permet de partager en groupes égaux. 2 Former des groupes égaux Distribuez aux élèves répartis en binômes 20 cubes multidirectionnels cha- cun et une feuille A3. Dessinez au tableau 6 assiettes et disposez 2 aimants DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE Comprendre que l’addition itérée peut être remplacée par la multiplication. Compétence du programme 2016 : Résoudre des problèmes en utilisant des nombres entiers et le calcul. Objectif Unité 4 • La multiplication et la division Calcul mental Les presque-doubles En s’appuyant sur l’automatisation des doubles, on vise la mémorisation des procédures : on ajoute ou on re- tranche 1 au double. Proposez ora- lement 5 + 5 = ? 7 + 7 = ? 4 + 4 = ? Les élèves écrivent le résultat sur l’ardoise. Écrivez au tableau 5 + 6 = ? 6 + 7 = ? 5 + 4 = ? puis demandez aux élèves d’écrire leur calcul sur leur ardoise. Relevez au tableau toutes les procé- dures utilisées. Rédigez une affiche explicitant les procédures : 5 + 6 c’est 5 + 5 + 1 = 10 + 1 = 11 ou 6 + 6 – 1 = 12 – 1 = 11. Proposez en entraînement tous les presque-doubles de 1 à 10. Pour les élèves les plus rapides, proposez les presque-doubles avec + 2 ou – 2. Par exemple : 7 + 9 c’est 7 + 7 + 2 = 14 + 2 = 16 ; 6 + 8 uploads/Management/ unite-4-la-multiplication-et-la-division.pdf
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- Publié le Oct 26, 2021
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