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Groupes 2018 ? ? ? MAT Introduction à la théorie des groupes Luc Bélair François Bergeron et Christophe Hohlweg octobre Université du Québec à Montréal Département de mathématiques Case postale Succursale Centre-Ville Montréal Québec H C P ? ? C CTable de

? ? ? MAT Introduction à la théorie des groupes Luc Bélair François Bergeron et Christophe Hohlweg octobre Université du Québec à Montréal Département de mathématiques Case postale Succursale Centre-Ville Montréal Québec H C P ? ? C CTable des matières Table des Figures Page Avant-propos Groupes Lois de composition interne et mono? des Groupes Sous-groupes Sous-groupes engendrés par une partie d ? un groupe Le groupe symétrique le groupe diédral et autres exemples Une application le système de cryptographie RSA Exercices Morphismes de groupes Morphismes de groupes Morphismes particuliers et théorème de Cayley Sous-groupes normaux et produit semi-direct Exercices Groupes quotients et théorèmes d ? isomorphisme Groupes quotients Théorèmes d ? isomorphisme et applications Présentations ?nies de groupes par générateurs et relations Exercices Actions de groupes Groupe opérant sur un ensemble Orbites et stabilisateurs C TABLE DES MATIÈRES Actions transitives et classes modulo un sous-groupe Formule de Burnside Exercices Les p-groupes et théorèmes de Sylow Les p-groupes Théorèmes de Sylow Exercices Groupes abéliens ?nis Groupes abéliens primaires Décomposition primaire Théorème principal Exercices A Rappels sur les ensembles et fonctions A Le langage ensembliste A Les fonctions A Relations d ? équivalences A Exercices B Autres exemples d ? actions de groupes B Actions linéaires B Le groupe des isométries du cube B A comme groupe des rotations du dodécaèdre B Espaces homogènes B Le groupe SL pZq C Théorie des groupes avec le calcul formel Bibliographie commentée Index CTable des ?gures Table de multiplication Deux graphes de Cayley pour S Composition de permutations Permutoèdre du groupe S Un cycle Décomposition en cycles disjoints Arrangement d ? hyperplans dans R correspondant à S Ré exions et arrangement de droites Isomorphisme entre les symétries du triangle et S Graphe de Cayley de A L ? octaèdre Graphe de Cayley du groupe libre Orbites dans C pour les translations et rotations Treillis des sous-groupes de S Colorations du tétraèdre B Rotations du cube B Les cinq cubes inscrits dans le dodécaèdre B Rotation du dodécaèdre B Version réaliste d ? un cube inscrit dans le dodécaèdre B Permutation des cubes d ? un dodécaèdre B Pavage du plan hyperbolique CAvant-propos Ce recueil est né en de la fusion de deux recueils de cours du Baccalauréat en mathématiques de l ? UQAM le premier écrit par Luc Bélair était conçu pour le cours MAT - Algèbre et le deuxième écrit par Christophe Hohlweg en MAT -Algèbre Une version révisé et dynamique de ce recueil a été préparé en par François Bergeron il y a ajouté de nombreuses illustrations exemples exercices avancés et des pistes d ? explorations pour guider l ? étudiant intéressé vers une théorie des groupes plus avancée La version électronique est dynamique avec des liens vers plusieurs ressources externes En particulier pour les quelques ?gures ou images provenant d ? autres sources un lien permet de retrouver cette source Dans tous ces cas les images sont du domaine public La présente version a été préparée par Christophe Hohlweg en elle