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CHAPITRE 2 Variables aléatoires Sommaire 2.1 Inroduction . . . . . . . . . . .

CHAPITRE 2 Variables aléatoires Sommaire 2.1 Inroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Lois discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Variables aléatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5 Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6 Approximation d’une loi par une autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1 Inroduction Dans la plupart des phénomènes aléatoires, le résultat d’une épreuve peut se traduire par une grandeur mathématique, très souvent représentée par un nombre entier ou un nombre réel. La notion mathématique qui représente éfﬁcacement ce genre de situation concrète est celle d’une variable aléatoire. Déﬁnition 2.1 Étant donné un espace probabilisé (Ω, A, P), d’espace fondamental Ωet de mesure de probabilité P. On appelle variable aléatoire (v.a) sur cet espace, toute application X de Ωdans R ou Z telle que : X : A − → (R ou Z) ω 7− → X(ω). à chaque événement élemantaire ω correspond un nombre réel ou entier x associé à la variable aléatoire X. Y. ZIANE 13 Chapitre 2 Variables aléatoires 2.2 Variables aléatoires discrètes Déﬁnition 2.2 Une variable aléatoire X est dite discrète si elle ne prend que des valeurs ﬁnies ou inﬁnies dénombrables. Déﬁnition 2.3 Soit (Ω, A, P) un espace de probabilité et E un ensemble ﬁni. On appelle variable aléa- toire discrète sur un ensemble ﬁni, l’application X déﬁnie de Ωdans E par : ∀x ∈E, X−1({x}) = {ω ∈Ω/X(ω) = x}. Remarque 2.1 On note une variable aléatoire par une lettre majuscule (par exemple X) et sa réalisation par une lettre minuscule (par exemple x). Exemple 2.1 Si on considère la constitution d’une fratrie de deux enfants, l’espace fondamental est constitué des évènements élémentaires suivants : Ω= {GG, GF, FG, FF}. Les valeurs possibles prises par la variable aléatoire X "nombre de ﬁlles dans la famille" sont : X = {0, 1, 2}. 2.2.1 Loi de probabilité d’une variable aléatoire Déﬁnition 2.4 Soit (Ω, A, P) un espace de probabilité, X une variable aléatoire déﬁnie sur Ωet soit {x1, x2, . . . , xn} l’ensemble des éléments de l’image de Ωpar X noté X(Ω) = valeur(X). La fonction numérique p déﬁnie sur X(Ω) dans [0, 1] par : pi = p(xi) = P(X−1({xi})) = P(X = xi), s’appelle loi ou distribution de la variable aléatoire X. Propriété 2.1 La fonction p possède les propriétés suivantes : • ∀xi ∈X(Ω), P(X = xi) = p(xi) ≥0, • n P i=1 p(xi) = 1. Remarque 2.2 Si on veut caractériser une variable aléatoire, il faut déterminer : 1. ses valeurs : Valeur(X) = {xi, 1 ≤i ≤n}, 2. sa distribution : dist(X) = (pi)1≤i≤n. Remarque 2.3 On prendra l’habitude de présenter la distribution de la variable X de la façon suivante : Y. ZIANE 14 Chapitre 2 Variables aléatoires xi x1 x2 . . . xj . . . xn P(X = xi) = p(xi) p1 p2 . . . pj . . . pn Pn i=1 pi = 1 Exemple 2.2 On lance deux pièces de monnaie, l’ensemble fondamental comprend 4 événements élé- mentaires Ω= {PP, PF, FP, FF}. On note X "la variable aléatoire qui compte le nombre de piles obtenu", donc les valeur(X) = {0, 1, 2}. On a la tableau suivant : X 0 1 2 P(X = xi) 1 4 1 2 1 4 2.2.2 Fonction de répartition La fonction de répartition nous indique comment sont réparties les valeurs d’une variable aléa- toire. Déﬁnition 2.5 Soit X une variable aléatoire discrète sur Ωtelle que X(Ω) = {x1, x2, . . . , xn}, avec x1 ≤x2 ≤. . . ≤xn. On appelle fonction de répartition X la fonction F déﬁnie par : F : X − → [0, 1] x 7− → FX(x) = P(X ≤x). Dans le cas où la variable aléatoire X est discrète, la fonction de répartition est toujours une fonction discontinue en escalier où : FX(x) = P(X ≤x) = X xi≤x P(X = xi). Propriété 2.2 La fonction de répartition possède les propriétés suivantes : 1. F est positive croissante et continue à gauche; 2. Si x < x1, alors FX(x) = 0; 3. ∀x ∈R, 0 ≤FX(x) ≤1; 4. Si x ≥xn, elle est égale à 1; 5. Si a ≤b, P(a ≤x ≤b) = FX(b) −FX(a); 6. P(X > a) = 1 −FX(a). Si les valeurs de X = {x1, x2, . . . , xn}, alors les valeurs de la fonction de répartition peuvent être calculées comme suit : FX(x) =        0, si x < x1 ; FX(xi+1), si x ∈[xi, xi+1[, i = 1 . . . n −1; 1, si x ≥xn. Y. ZIANE 15 Chapitre 2 Variables aléatoires avec FX(xi+1) = i X j=1 pj Exemple 2.3 Jet d’un dé. X = i, le dé donne le chiffre i. X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, la loi de probabilité de la variable aléatoire X est : P(X = xi) = ( 1 6, si i=1,. . . ,6; 0, sinon. • Si x < 1, FX(x) = P(X < 1) = 0; • Si x ≤1, FX(x) = P(X ≤1) = P(X < 2) = P(X = 1) = 1 6 ; • Si x ≤2, FX(x) = P(X ≤2) = P(X < 3) = P(X = 1) + P(X = 2) = 2 6 ; • Si x ≤3, FX(x) = P(X ≤3) = P(X < 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1 2 ; • Si x ≤4, FX(x) = P(X ≤4) = P(X < 5) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 2 3 ; • Si x ≤5, FX(x) = P(X ≤5) = P(X < 6) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 5 6 ; • Si x ≥6, FX(x) = 6 P i=1 P(X = xi) = 1. FX(x) =                              0, x< 1; 1 6, 1 ≤x < 2; 2 3, 2 ≤x < 3; 3 6, 3 ≤x < 4; 4 6, 4 ≤x < 5; 5 6, 5 ≤x < 6; 1, x ≥6. 2.2.3 Caractéristiques d’une variable aléatoire discrète Considérons une variable aléatoire discrète X prenant les valeurs {x1, x2, . . . , xn} et suivant la loi de probabilité pi = P(X = xi), i = 1, 2, . . . , n, Moments Moment d’ordre r Pour tout entier naturel r, on appelle moment d’ordre r de X et on note mr(X) la quantité : mr(X) = n X i=1 xr i P(X = xi). Y. ZIANE 16 Chapitre 2 Variables aléatoires Espérance mathématique On appelle espérance mathématique d’une variable aléatoire X, et on note E(X) le moment d’ordre 1 de la variable X : E(X) = m1(X) = n X i=1 xiP(X = xi). l’espérance mathématique permet d’estimer la valeur moyenne de la loi de probabilité. Propriété 2.3 Soit une variable aléatoire X et a ∈R. 1. E(a) = a, 2. E(a + X) = E(a) + E(X) = a + E(X) (car l’espérance E est un opérateur linéaire), 3. E(aX) = aE(X), 4. E(X1 + X2) = E(X1) + E(X2) (car l’espérance E est un opérateur linéaire). Variance La variance de la variable X notée V (X) est donnée par la formule suivante : V (X) = E X −E(X) 2 = E(X2) −E(X2) = n X i=1 xi −E(X) 2P(X = xi) = n X i=1 x2 i P(X = xi) − " n X i=1 xiP(X = xi) #2 . Propriété 2.4 On suppose que X est une variable aléatoire discrète et a, b ∈R. 1. V (X) ≥0; 2. V (a) = 0; 3. V (a + X) uploads/Marketing/ chapitre-ii-variables-aleatoires.pdf