Module d’analyse Semestre 1, 2021 Corrig´ e S´ erie 1: Applications, ensembles,

Module d’analyse Semestre 1, 2021 Corrig´ e S´ erie 1: Applications, ensembles, d´ enombrabilit´ e, tribus et mesures Exercice 1 : Soit E un ensemble et A une partie non vide de E. 1. La fonction f : P(E) →P(E) X 7→Xc est-elle injective ? surjective ? 2. On consid` ere la fonction g : P(E) →P(E) X 7→A ∩X. Montrer que si A ̸= E, alors g n’est ni injective, ni surjective. 3. Montrer que g(P(E)) = P(A). Solution : 1. • Soient X, Y ∈P(E) tels que f(X) = f(Y ). Donc, Xc = Y c ⇒(Xc)c = (Y c)c ⇒X = Y . D’o` u f est injective. • Tout Y ∈P(E) admet un ant´ ec´ edent X = Y c ∈P(E). D’o` u f est surjective. 2. • On a A ̸= E et g(A) = g(E) = A. Donc g n’est pas injective. • E n’admet pas d’ant´ ec´ edents, car sinon, A = E. Donc g n’est pas surjective. 3. Il est clair que g(P(E)) ⊂P(A). R´ eciproquement, soit B ∈P(A). Donc B ⊂A, et ensuite B = g(B) ∈g(P(E)). D’o` u g(P(E)) = P(A). Exercice 2 : 1. Montrer que N2 est d´ enombrable. 2. Montrer que le produit de deux ensembles d´ enombrables est d´ enombrable. 3. D´ eduire que Np (p ∈N∗) est d´ enombrable. Solution : 1. On consid` ere l’application ϕ : N2 →N (n, m) 7→2n 3m. Alors, par le th´ eor` eme fondamental de l’arithm´ etique, ϕ est injective. D’o` u N2 est d´ enombrable. 2. Soient E1 et E2 deux ensembles d´ enombrables. Il existe ψ1 : E1 →N et ψ2 : E2 →N injectives. Il en r´ esulte que ψ :E1 × E2 →N2 (x1, x2) 7→(ψ1(x1), ψ2(x2)) est injective. Donc ϕ ◦ψ : E1 × E2 →N est injective. D’o` u E1 × E2 est d´ enombrable. 3. En utilisant 2. et la r´ ecurrence sur p, on obtient que Np est d´ enombrable. 1 Exercice 3 : Soient a, b ∈R tels que a < b. D´ eterminer les ensembles suivants : 1. T n≥1  a, a + 1 n  . 2. T n≥1  a, b + 1 n  . 3. S n≥1  1 n, +∞  . 4. S x∈[0,1]  x 2, 2x  . Solution : 1. T n≥1  a, a + 1 n  = ∅. 2. T n≥1  a, b + 1 n  =]a, b]. 3. S n≥1  1 n, +∞  =]0, +∞[. 4. S x∈[0,1]  x 2, 2x  =]0, 2[. Exercice 4 : Soit Ωun ensemble et soient A0, A1, . . . , des parties de Ω. 1. On suppose dans cette question que A0 ⊂A1 ⊂· · · ⊂An ⊂An+1 ⊂. . . Posons pour tout n ≥1, Bn = An \ An−1. Montrer que les ensembles Bn sont deux ` a deux disjoints. 2. Montrer que S n≥0 Ac n = T n≥0 An !c . 3. Montrer que S n≥0 Ac n !c = T n≥0 An. Solution : 1. Soient n, m ∈N∗: n < m. Donc n ≤m −1 et Ac m−1 ⊂Ac n. D’autre part, Bn ⊂An et Bm ⊂Ac m−1 ⊂Ac n. Donc Bn ∩Bm ⊂∅. D’o` u Bn ∩Bm = ∅. 2. • Si x ∈S n≥0 Ac n, alors ∃n tel que x / ∈An. Donc x / ∈T n≥0 An. Par suite, x ∈ T n≥0 An !c . • Si x ∈ T n≥0 An !c , alors x / ∈T n≥0 An. Donc ∃n tel que x / ∈An. D’o` u ∃n tel que x ∈Ac n. Par cons´ equent, x ∈S n≥0 Ac n. Conclusion : S n≥0 Ac n = T n≥0 An !c . 3. Par passage au compl´ ementaire dans le r´ esultat pr´ ec´ edent, on obtient S n≥0 Ac n !c = T n≥0 An. 2 Exercice 5 : Soit (B1, . . . , Bn) une partition de R. Montrer que B =  S i∈I Bi : I ⊂{1, . . . , n}  est une tribu sur R (B est constitu´ e de toutes les r´ eunions finies possibles d’ensembles Bi.) Solution : On rappelle que “B1, . . . , Bn est une partition de R” signifie que les ensembles Bi sont deux ` a deux disjoints et que B1 ∪. . . ∪Bn = R. i) R = B1 ∪. . . ∪Bn ∈B. ii) Soit S i∈I Bi ∈B,  S i∈I Bi c = S i∈Ic Bi ∈B. iii) Si on fait une r´ eunion d´ enombrable d’´ el´ ements de B, alors [ n≥0 [ i∈In Bi ! = [ " i∈S n≥0 In # Bi ∈B. Exercice 6 : Soit l’application Card d´ efinie par Card : P(N) →[0, +∞] A 7→Card(A) = le nombre d’´ el´ ements de A. Montrer que Card est une mesure sur (N, P(N)). Solution : On a : i) Pour A ∈P(N), Card(A)(= le nombre d’´ el´ ements de A) est bien dans [0, +∞]. ii) La partie ∅est de cardinal 0. iii) Si A0, A1, . . . , An, . . . , ∈P(N), sont deux ` a deux disjoints, alors Card S n An  = P n≥0 Card (An). Exercice 7 : Soit (Ω, B) un espace mesurable. 1. Soit x ∈Ω, on note δx : B →[0, +∞] B 7→δx(B) = ( 1 si x ∈B, 0 sinon . Montrer que δx est une mesure sur (Ω, B) (cette mesure s’appelle la mesure de Dirac en x). 2. Soient x1, . . . , xk des ´ el´ ements distincts de Ωet p1, . . . , pk ∈R∗ +. On note µ : B →[0, +∞] B 7→µ(B) = X 1≤i≤k piδxi(B). Montrer que µ est une mesure sur (Ω, B). Solution : 1. i) δx est bien une fonction de B dans [0, +∞]. 3 ii) δx(∅) = 0 car x / ∈∅. iii) Si on a des ´ el´ ements deux ` a deux disjoints de B : B0, B1, . . ., alors δx  [ n≥0 Bn  =    1 si x ∈S n≥0 Bn 0 sinon = ( 1 si ∃n tel que x ∈Bn 0 sinon = X n≥0 δx (Bn) , car les Bn sont deux ` a deux disjoints (et donc au plus un seul d’entre eux contient x, c’est ` a dire au plus un seul d’entre eux est tel que δx (Bn) = 1). 2. On remarque que ∀i, δxi est une mesure par la question pr´ ec´ edente. i) µ est bien une fonction de B dans [0, +∞]. ii) µ(∅) = P 1≤i≤k piδxi(∅) = 0. iii) Si on a des ´ el´ ements deux ` a deux disjoints de B : B0, B1, B2, . . ., µ  [ n≥0 Bn  = X 1≤i≤k piδxi  [ n≥0 Bn   = X 1≤i≤k pi X n≥0 δxi (Bn) = X n≥0 X 1≤i≤k piδxi (Bn) = X n≥0 µ (Bn) . Exercice 8 : Soit (Ω, B, µ) un espace mesur´ e. Soient A0, A1, . . . An, . . . ∈B tels que A0 ⊃A1 ⊃· · · An ⊃An+1 ⊃· · · et µ(A0) < +∞. Montrer que µ  \ n≥0 An  = lim k→+∞µ (Ak) . Solution : Posons pour tout k ∈N, Bk = Ak \ Ak+1. Les ensembles B0, B1, . . . Bn, . . . sont deux ` a deux disjoints. 4 Nous avons T k≥0 Ak = A0 \ S k≥0 Bk. Donc, par la mesure d’une diff´ erence, on a µ  \ k≥0 Ak  = µ (A0) −µ  [ k≥0 Bk   = µ (A0) − X k≥0 µ (Bk) (σ-dditivit´ e) = µ (A0) − lim n→+∞ n X k=0 µ (Bk) = lim n→+∞(µ (A0) −µ (B0) −. . . −µ (Bn)) = lim n→+∞  µ (A0) −µ  [ 0≤k≤n Bk     (additivit´ e) = lim n→+∞µ (An+1) (la mesure d’une diff´ erence). Exercice 9 : Montrer les propri´ et´ es suivantes : 1. A ⊂B ⇐ ⇒1A ≤1B et A = B ⇐ ⇒1A = 1B. 2. 1A∩B = 1A × 1B = inf(1A, 1B). 3. 1A∪B = 1A + 1B −1A × 1B = sup(1A, 1B). 4. 1Ac = 1 −1A. 5. 1A∆B = |1A −1B|. Solution : Il suffit de manipuler la d´ efinition de la fonction indicatrice. 5 uploads/Marketing/ corrige-serie1 2 .pdf

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• Publié le Oct 23, 2022
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