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RAPPELS SUR LES FILTRES ANALOGIQUES Notions de système: Un système est un proce

RAPPELS SUR LES FILTRES ANALOGIQUES Notions de système: Un système est un processus qui produit un signal à sa sortie (ou réaction), noté par exemple y(t), lorsqu’il est excité à son entrée par un signal (ou action) que l’on note par exemple x(t). On dit alors que y(t) est l’effet du système sur x(t). On peut modéliser (représenter mathématiquement) un système par une équation liant l’entrée x(t) à la sortie y(t). GENERALITES Système Entrée x(t) : signal ou action Sortie y(t) : signal ou réaction x(t) y(t) fct : désigne une fonction mathématique     t x fct t y  Système analogique SISO Système analogique MISO Système analogique SIMO Système analogique MIMO x(t) y(t) y(t) x(t) y1(t) yM(t) y1(t) yM(t) x1(t) xN(t) x1(t) xN(t) Un système peut produire un ou plusieurs signaux à sa sortie, comme il peut être excité à son entrée par un ou plusieurs autres signaux Single Input Single Output Multiple Inputs Single Output Single Input Multiple Outputs Multiple Inputs Multiple Outputs GENERALITES Un système peut donc être :  électrique : Circuit électrique, moteur électrique  électronique: capteur, amplificateur, filtre  automatique: régulateur  télécommunication: un modulateur, un démodulateur, canal de transmission …etc  mécanique: ressort, pendule, moteur mécanique  organique: Cellule  politique  économique  ….etc Evidemment, chaque type de systèmes possèdent ses propres signaux (ou paramètres) d’entrée et de sortie GENERALITES  Résistance R: avec v la tension à ses bornes et i le courant qui la parcours Inductance L: avec v la tension à ses bornes et i le courant qui la parcours Condensateur C : avec v la tension à ses bornes et i le courant qui la parcours R i GENERALITES Exemples de systèmes: Nous allons nous intéresser plus particulièrement aux systèmes électriques . Les trois premiers sont linéaires et le dernier non linéaire. v i L i C v v  Diode D : v la tension à ses bornes et i le courant qui la parcours R v i  dt di L v  dt dv C i  GENERALITES Exemples de systèmes: Parmi le systèmes électriques les plus sollicités nus avons les systèmes linéaires et invariants dans le temps (SLIT). Comme nous pouvons le remarquer sur cet exemple simple et basic, la relation mathématique qui lie l’entrée x(t) à la sortie y(t) est sous forme d’une équation différentielle du 1er ordre:  les systèmes à équations différentielles représentent toujours des systèmes linéaires.  De plus à coefficients constants indiquent l’invariance dans le temps.    dt t dy RC t y t x   Bruits EMETTEU R RECEPTEUR GENERALITES Exemples de systèmes : chaines de transmission Un système de communication (Emetteur, Canal et Récepteur) est formé par un ensemble de systèmes. La source, les codeurs, le modulateur, le canal, le démodulateur, les décodeurs sont des exemples de systèmes souvent complexes. Ressort : raideur = k Amortisseur : coefficient de frottement = b Le poids est pris en compte dans le point de fonctionnement (f0 = mg, y0) m f k b y y0 GENERALITES Exemples de systèmes : Système mécanique    on accélérati m forces 2 2 ) ( ) ( dt y d m dt dy b t y k t f    Le système est linéaire si: Pour une entrée nous avons la sortie Pour une entrée nous avons la sortie Alors pour une entrée nous aurons Où et sont des constantes réelles 1. Système linéaire: DEFINITION D’UN SLIT Système analogique Entrée x(t) : Sortie y(t) : x(t) y(t)    t x t x t x 2 1        t y t y t y 2 1      t x1  t y1  t x2  t y2   De point de vue mathématique: Un système linéaire est un système pour lequel les relations entre les grandeurs d’entrée et de sortie peuvent se mettre sous la forme d’un ensemble d’équations différentielles à coefficients constants. Où les coefficients ak et bl sont des constantes réelles Généralement N≥M. On dit alors que le système est d’ordre N DEFINITION D’UN SLIT 1. Système linéaire:         M M M N N N dt t x d b dt t x d b dt t dx b t x b dt t y d a dt t y d a dt t dy a t y a          ... ... 2 2 2 1 0 2 2 2 1 0   l l l M l k k k N k dt t x d b dt t y d a      0 0 2. Système Invariant dans le temps: Un système est invariant lorsque les caractéristiques de comportement ne se modifient pas dans le temps. Autrement dit, un système est invariant lorsque sa réponse (sa sortie) de dépend pas de l’instant ou on applique le signal d’entrée. Pour une entrée un système invariant donne Alors pour une entrée il doit donner Exemple 1: Système invariant Exemple 2: Système variant DEFINITION D’UN SLIT  t x  t y     t x     t y 4. Réponse impulsionnelle d’un SLIT: La réponse impulsionnelle d’un SLIT, souvent notée h(t), est la sortie du système lorsque son entrée est une impulsion de Dirac.  pour alors  De même si nous avons une entrée la sortie sera  De même si l’entrée est La sortie sera En tenant compte à la fois de la linéarité et de l’invariance du système 3. Système causal: Un système est causal si pour toute entrée causal, la sortie doit être causal DEFINITION D’UN SLIT   t t x     t h t y         t t x       t h t y        3 3 2 2 1 1                t t t t x        3 3 2 2 1 1             t h t h t h t y LA CONVOLUTION POUR UN SLIT En tenant compte leurs propriétés de linéarité et d’invariance, nous pouvons alors utiliser l’équation de convolution pour décrire les SLIT dans le domaine temporel SLIT analogique Entrée x(t) : x(t) y(t) Domaine temporel Domaine fréquentiel TF TF-1 ) ( * ) ( ) ( t x t h t y  ) ( ) ( ) ( f X f H f Y   SLIT du elle impulsionn réponse : h(t) SLIT du lle fréquentie Réponse la : TF(h(t) ) (  f H ) t - h(t . ) t - (t . : avons nous invariance par h(t) . (t) . : avons nous linéarité par h(t) ) ( (t) ) ( 0 0 k k k k t y t x si               f X f Y f H  LA CONVOLUTION POUR UN SLIT SLIT analogique Entrée x(t) : x(t) y(t) Pour mieux comprendre cette équation de convolution et comment elle est calculée, reprenons un exemple quelconque d’un signal analogique x(t) appliqué ç l’entrée d’un SLIT. Il peut être considéré comme une infinité d’impulsions de Dirac (voir figure ci-dessous. En tenant compte de la propriété d’invariance, chaque impulsions de ce signal va créer à la sortie du SLIT une réponse impulsionnelle décalée et avec l’amplitude de l’impulsion (ou du signal à l’instant de l’impulsion). En tenant compte de la propriété de la linéarité, la sortie globale y(t) sera donc la somme de toutes les contributions dues à chaque impulsion du signal d’entrée LA CONVOLUTION POUR UN SLIT Donc, en supposant que les impulsions ainsi considérée du signal d’entrée sont espacées les unes des autres de , nous aurons: ) ( * ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( . lim ) ( ) ( ). ( . ) ( ) ( . ) 2 ( ). 2 ( . ) 2 ( ) 2 ( . 2 ) ( ). ( . ) ( ) ( . ) ( ). 0 ( . ) ( ) 0 ( . 0 0 t h t x d t h x n t h n x t y n t h n x n t n x n t t h x t x t t h x t x t t h x t x t n u                              uploads/Philosophie/ chapitre-1-filtres-analogiques-master-rt.pdf