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1 Logique et raisonnements Exo7 1 Logique 2 Raisonnements Vidéo ■partie 1. Logi

1 Logique et raisonnements Exo7 1 Logique 2 Raisonnements Vidéo ■partie 1. Logique Vidéo ■partie 2. Raisonnements Exercices ♦Logique, ensembles, raisonnements Quelques motivations – Il est important d’avoir un langage rigoureux. La langue française est souvent ambigüe. Prenons l’exemple de la conjonction « ou » ; au restaurant « fromage ou dessert » signiﬁe l’un ou l’autre mais pas les deux. Par contre si dans un jeu de carte on cherche « les as ou les cœurs » alors il ne faut pas exclure l’as de cœur. Autre exemple : que répondre à la question « As-tu 10 euros en poche ? » si l’on dispose de 15 euros ? – Il y a des notions difﬁciles à expliquer avec des mots : par exemple la continuité d’une fonction est souvent expliquée par « on trace le graphe sans lever le crayon ». Il est clair que c’est une déﬁnition peu satisfaisante. Voici la déﬁnition mathématique de la continuité d’une fonction f : I →R en un point x0 ∈I : ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈I (|x−x0| < δ = ⇒|f (x)−f (x0)| < ε). C’est le but de ce chapitre de rendre cette ligne plus claire ! C’est la logique. – Enﬁn les mathématiques tentent de distinguer le vrai du faux. Par exemple « Est-ce qu’une augmentation de 20%, puis de 30% est plus intéressante qu’une augmentation de 50% ? ». Vous pouvez penser « oui » ou « non », mais pour en être sûr il faut suivre une démarche logique qui mène à la conclusion. Cette démarche doit être convaincante pour vous mais aussi pour les autres. On parle de raisonnement. Les mathématiques sont un langage pour s’exprimer rigoureusement, adapté aux phénomènes complexes, qui rend les calculs exacts et vériﬁables. Le raisonnement est le moyen de valider — ou d’inﬁrmer — une hypothèse et de l’expliquer à autrui. 1. Logique 1.1. Assertions Une assertion est une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux en même temps. Exemples : – « Il pleut. » – « Je suis plus grand que toi. » – « 2+2 = 4 » 10 Logique et raisonnements – « 2×3 = 7 » – « Pour tout x ∈R, on a x2 Ê 0. » – « Pour tout z ∈C, on a |z| = 1. » Si P est une assertion et Q est une autre assertion, nous allons déﬁnir de nouvelles assertions construites à partir de P et de Q. L’opérateur logique « et » L’assertion « P et Q » est vraie si P est vraie et Q est vraie. L’assertion « P et Q » est fausse sinon. On résume ceci en une table de vérité : P \ Q V F V V F F F F F I G U R E 1.1 – Table de vérité de « P et Q » Par exemple si P est l’assertion « Cette carte est un as » et Q l’assertion « Cette carte est cœur » alors l’assertion « P et Q » est vraie si la carte est l’as de cœur et est fausse pour toute autre carte. L’opérateur logique « ou » L’assertion « P ou Q » est vraie si l’une des deux assertions P ou Q est vraie. L’assertion « P ou Q » est fausse si les deux assertions P et Q sont fausses. On reprend ceci dans la table de vérité : P \ Q V F V V V F V F F I G U R E 1.2 – Table de vérité de « P ou Q » Si P est l’assertion « Cette carte est un as » et Q l’assertion « Cette carte est cœur » alors l’assertion « P ou Q » est vraie si la carte est un as ou bien un cœur (en particulier elle est vraie pour l’as de cœur). Remarque Pour déﬁnir les opérateurs « ou », « et » on fait appel à une phrase en français utilisant les mots ou, et ! Les tables de vérités permettent d’éviter ce problème. La négation « non » L’assertion « non P » est vraie si P est fausse, et fausse si P est vraie. P V F non P F V F I G U R E 1.3 – Table de vérité de « non P » Logique et raisonnements 11 L’implication = ⇒ La déﬁnition mathématique est la suivante : L’assertion « (non P) ou Q » est notée « P = ⇒Q ». Sa table de vérité est donc la suivante : P \ Q V F V V F F V V F I G U R E 1.4 – Table de vérité de « P = ⇒Q » L’assertion « P = ⇒Q » se lit en français « P implique Q ». Elle se lit souvent aussi « si P est vraie alors Q est vraie » ou « si P alors Q ». Par exemple : – « 0 É x É 25 = ⇒px É 5 » est vraie (prendre la racine carrée). – « x ∈]−∞,−4[ = ⇒x2 +3x−4 > 0 » est vraie (étudier le binôme). – « sin(θ) = 0 = ⇒θ = 0 » est fausse (regarder pour θ = 2π par exemple). – « 2 + 2 = 5 = ⇒ p 2 = 2 » est vraie ! Eh oui, si P est fausse alors l’assertion « P = ⇒Q » est toujours vraie. L’équivalence ⇐ ⇒ L’équivalence est déﬁnie par : « P ⇐ ⇒Q » est l’assertion « (P = ⇒Q) et (Q = ⇒P) ». On dira « P est équivalent à Q » ou « P équivaut à Q » ou « P si et seulement si Q ». Cette assertion est vraie lorsque P et Q sont vraies ou lorsque P et Q sont fausses. La table de vérité est : P \ Q V F V V F F F V F I G U R E 1.5 – Table de vérité de « P ⇐ ⇒Q » Exemples : – Pour x,x′ ∈R, l’équivalence « x· x′ = 0 ⇐ ⇒(x = 0 ou x′ = 0) » est vraie. – Voici une équivalence toujours fausse (quelque soit l’assertion P) : « P ⇐ ⇒non(P) ». On s’intéresse davantage aux assertions vraies qu’aux fausses, aussi dans la pratique et en dehors de ce chapitre on écrira « P ⇐ ⇒Q » ou « P = ⇒Q » uniquement lorsque ce sont des assertions vraies. Par exemple si l’on écrit « P ⇐ ⇒Q » cela sous-entend « P ⇐ ⇒Q est vraie ». Attention rien ne dit que P et Q soient vraies. Cela signiﬁe que P et Q sont vraies en même temps ou fausses en même temps. 12 Logique et raisonnements Proposition 1 Soient P,Q,R trois assertions. Nous avons les équivalences (vraies) suivantes : 1. P ⇐ ⇒non(non(P)) 2. (P et Q) ⇐ ⇒(Q et P) 3. (P ou Q) ⇐ ⇒(Q ou P) 4. non(P et Q) ⇐ ⇒(non P) ou (non Q) 5. non(P ou Q) ⇐ ⇒(non P) et (non Q) 6. ¡ P et (Q ou R) ¢ ⇐ ⇒(P et Q) ou (P et R) 7. ¡ P ou (Q et R) ¢ ⇐ ⇒(P ou Q) et (P ou R) 8. « P = ⇒Q » ⇐ ⇒« non(Q) = ⇒non(P) » Démonstration Voici des exemples de démonstrations : 4. Il sufﬁt de comparer les deux assertions « non(P et Q) » et « (non P) ou (non Q) » pour toutes les valeurs possibles de P et Q. Par exemple si P est vrai et Q est vrai alors « P et Q » est vrai donc « non(P et Q) » est faux ; d’autre part (non P) est faux, (non Q) est faux donc « (non P) ou (non Q) » est faux. Ainsi dans ce premier cas les assertions sont toutes les deux fausses. On dresse ainsi les deux tables de vérités et comme elles sont égales les deux assertions sont équivalentes. P \ Q V F V F V F V V F I G U R E 1.6 – Tables de vérité de « non(P et Q) » et de « (non P) ou (non Q) » 6. On fait la même chose mais il y a trois variables : P, Q, R. On compare donc les tables de vérité d’abord dans le cas où P est vrai (à gauche), puis dans le cas où P est faux (à droite). Dans les deux cas les deux assertions « ¡ P et (Q ou R) ¢ » et « (P et Q) ou (P et R) » ont la même table de vérité donc les assertions sont équivalentes. Q \ R V F V V V F V F Q \ R V F V F F F F F 8. Par déﬁnition, l’implication « uploads/Philosophie/ cours-de-mathematiques.pdf