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École Supérieure des Sciences Appliquées d’Alger Cours d’Algèbre 1 Logique math

École Supérieure des Sciences Appliquées d’Alger Cours d’Algèbre 1 Logique mathématique Dr. Khaled MAAFA, 8 décembre 2020 Types de raisonnements mathématiques Raisonnement par l’absurde Pour montrer qu’une proposition P est vraie, on suppose P et on montre qu’on obtient alors une contradiction. Example montrons que ∀x ∈ 0, π 2 sin x + cos x ⩾1. Supposons par l’absurde que ∃x ∈ 0, π 2 sin x + cos x < 1 Comme x ∈ 0, π 2 alors sin x ⩾0 et cos x ⩾0, par suite 0 ⩽sinx + cos x < 1 ⇒(sin x + cos x)2 < 12 ⇒sin2 x + cos2 x + 2 sin x cos x < 1 ⇒1 + 2 sin x cos x < 1 ⇒2 sin x cos x < 0 ⇒sin x cos x < 0 Contradiction avec sin x ⩾0 et cos x ⩾0. 2 / 12 Types de raisonnements mathématiques Raisonnement par contre-exemple On l’utilise pour montrer que la proposition quantiﬁée ∀x ∈E, P(x) est fausse. Pour cela, il sufﬁt de trouver un élément x ∈E tel que P(x) est fausse. Example Considérons l’afﬁrmation : ∀n ∈N∗, (6n −1) est premier ou (6n + 1) est premier. Cette afﬁrmation est fausse, car on peut trouver n ∈N∗tel que ni (6n −1) ni (6n + 1) n’est premier. (n=?) 3 / 12 Types de raisonnements mathématiques Raisonnement par récurrence : récurrence simple Soit P(n) une propriété dépendant de l’entier naturel n et n0 ∈N. Pour montrer que P(n) est vraie pour tout entier n ⩾n0 : 1 On vériﬁe que P(n0) est vraie. 2 On montre que P(n) ⇒P(n + 1). 4 / 12 Types de raisonnements mathématiques Example Montrons que ∀n ∈N 10n+1 + 3 · 10n + 5 est divisible par 9. Soit p(n) : 10n+1 + 3 · 10n + 5 est divisible par 9. On a p(0) est vraie car : 10+3+5=18 est divisible par 9. Supposons P(n) vraie. i.e : 10n+1 + 3 · 10n + 5 est divisible par 9. On alors 10n+1 + 3 · 10n + 5 = 9k, k ∈N. Par suite 10(10n+1 + 3 · 10n + 5) = 10 · 9k 10n+2 + 3 · 10n+1 + 50 = 90k 10n+2 + 3 · 10n+1 + 5 = 90k −45 10(n+1)+1 + 3 · 10n+1 + 5 = 9(10k −5) d’où P(n + 1) est vraie. On a donc ∀n ∈N 10n+1 + 3 · 10n + 5 est divisible par 9. 5 / 12 Types de raisonnements mathématiques Raisonnement par récurrence : récurrence multiple Soit p(n) une propriété dépendant de l’entier naturel n, n0 ∈N et q ∈N∗. Pour montrer que p(n) est vraie pour tout entier n ⩾n0 : 1 On vériﬁe que p(n0), p(n0 + 1), . . . , p(n0 + q −1) sont vraies. 2 On montre que (p(n) ∧p(n + 1) ∧. . . p(n + q −1)) ⇒P(n + q) C’est une récurrence d’ordre q. 6 / 12 Types de raisonnements mathématiques Example Considérons la suite numérique (un) déﬁnie par u0 = 2, u1 = 3 et la relation ∀n ∈N, Un+2 = 3 ∗Un+1 −2 ∗Un Montrons que ∀n ∈N Un = 2n + 1. On a u0 = 2 = 20 + 1 et u1 = 3 = 21 + 1, donc p(0) et p(1) sont vraies. Montrons que (p(n) ∧p(n + 1)) ⇒P(n + 2) Supposons que Un = 2n + 1 et Un+1 = 2n+1 + 1. On a alors Un+2 = 3 ∗Un+1 −2 ∗Un = 3(2n+1 + 1) −2(2n + 1) = 2 · 2n+1 + 1 = 2n+2 + 1 On a donc p(n + 2) vraie, d’où ∀n ∈N, Un = 2n + 1 7 / 12 Théorie des ensembles Deﬁnition Un ensemble est une collection d’objets. Chacun de ces objets est un élément de l’ensemble. Si x est un élément de l’ensemble E ont dit que x appartient à E et on écrit x ∈E. Example Soit N l’ensemble des entiers naturels. 3 ∈N, √ 2 ̸∈N. Un ensemble peut être déﬁni : En extension : en listant tous les éléments de l’ensemble : E = {1, 2, 3} En compréhension : En donnant une propriété caractéristique des éléments de l’ensemble : A = {n ∈N | n divise 24} 8 / 12 Théorie des ensembles Diagramme Venn On utilise un diagramme de Venn pour représenter graphiquement un ensemble. FIGURE – Diagramme de Venn 9 / 12 Théorie des ensembles cardinal d’un ensemble Lorsque le nombre des éléments d’un ensemble E est un entier naturel, l’ensemble E est dit ﬁni. Ce nombre d’éléments est appelé cardinal de E et est noté card(E). Un ensemble qui n’est pas ﬁni est dit inﬁni. Example E = {a, b, c, d, e}. E est un ensemble ﬁni card(E) = 5. L ’ensemble des entiers naturels N est inﬁni. Ensemble vide Un ensemble qui ne contient aucun élément est appelé l’ensemble vide. Il est noté ∅. On a card(∅) = 0 10 / 12 Théorie des ensembles Relation d’inclusion Soient A et B deux ensemble. On dit que A est inclus dans B, ou A est une partie de B, si tout élément de A est un élément de B. On écrit alors : A ⊂B. Écriture à l’aide des symboles logiques Si A et B sont deux parties d’un ensemble E alors : A ⊂B ⇔(∀x ∈E, x ∈A ⇒x ∈B) Example A : l’ensemble de tous les étudiants de première année préparatoire. B : l’ensemble des étudiants de la sections C de première année préparatoire. E : L ’ensemble des étudiants de deuxième année préparatoire. On a B ⊂A, B ̸⊂E 11 / 12 Théorie des ensembles Égalité de deux ensembles Deux ensembles A et B sont égaux s’ils ont exactement les mêmes éléments. On écrit alors A = B. Écriture à l’aide des symboles logiques Si A et B sont deux parties d’un ensemble E alors : A ⊂B ⇔(∀x ∈E, x ∈A ⇔x ∈B) Example A : l’ensemble des solutions de x2 + 2x −3 = 0 B = {1, −3} On a A = B, car x est solution de x2 + 2x −3 = 0 si et seulement si x ∈{1, −3}. Proposition On a A = B ⇔(A ⊂B ∧B ⊂A) 12 / 12 uploads/Philosophie/ slides.pdf