Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

So m m a i r e So m m a i r e Chapitre 1 Rudiments de la logique L’objet des ma

So m m a i r e So m m a i r e Chapitre 1 Rudiments de la logique L’objet des mathématiques porte sur l’étude d’assertions (souvent relatives à des objets abstraits : équations, ﬁgures géométriques, etc) qui peuvent être soit vraies, soit fausses ou encore ni l’un ni l’autre. Le but du jeu est de déterminer des propositions vraies, utiles en pratiques pour la résolution de problèmes, ou encore sim- plement esthétiquement belles pour le plaisir de la pensée. Pour ce faire, il est souvent crucial de déterminer les liens logiques entre plusieurs assertions, ces liens étant à la base de toutes les démonstrations faites en ma- thématiques. Cette mise en route à pour but de ﬁxer quelques éléments de vocabulaire concernant les bases de raisonnement qui seront utilisées toute l’année. I Proposition et fonction propositionnelle 1 Proposition Déﬁnition I.1 Une proposition est un enoncé mathématique auquel on peut attribuer la valeur de vérité vrai (V) ou faux (F), mais jamais les deux à la fois. C’est le principe du tiers-exclu. Exemples ® La proposition ”3 > 1” est vraie. ® La proposition ” √ 2 > 2” est fausse. ® La proposition "Pour tout réel x, on a x3 −1 = (x −1)(x2 + x + 1)" est vraie. 2 Fonction propositionnelle Déﬁnition I.2 Une fonction propositionnelle est un énoncé mathématique dépendant de variables x,y,n... tel que quand on remplace chacune de ces variables par un élément donné d’un ensemble, on obtient une proposition. Exemples L’énoncé suivant : P(n)" n est un multiple de 2" est une fonction propositionnelle car il devient une proposition quand on donne une valeur à n. ® P(10) = « 10 est un mult. de 2 » est une proposition vraie, ® P(11) = « 11 est un mult. de 2 » est une proposition fausse. L’enonce suivant : P(x,y) : ′′ x2 + y2 = 5 ′′ est un une fonction propositionnelle a deux variables. ® P(2,1) : ′′ 22 + 12 = 5 ′′ est une proposition vraie, ® P(2,3) : ′′ 22 + 32 = 5 ′′ est une proposition fausse. 1 1 Une proposition peut s’interprèter comme une fonction propositionnelle sans variable, c’est-à-dire comme une fonction propositionnelle toujours vraie ou toujours fausse. Une proposition peut s’interprèter comme une fonction propositionnelle sans variable, c’est-à-dire comme une fonction propositionnelle toujours vraie ou toujours fausse. Remarque II II Les connecteurs logiques Les connections logiques entre diﬀérentes propositions sont à la base de tous les raisonnements mathéma- tiques. elles permettent de créer de nouveaux propositions à partir de propositions P, Q , . . . 1 Operation sur les propositions a Négation Déﬁnition II.1 Soit P une proposition. La négation de la proposition P est la proposition noté non(P) qui ® est vraie lorsque P est fausse, ® est fausse lorsque P est vraie. On résume ceci dans la table de vérité : P nonP V F V F Exemples ® La proposition P : ” √ 24 ⩽ √ 8 + 4” est une proposition vraie (V) ® La négation de P est déﬁnie par : non(P) : ” √ 24 > √ 8 + 4” qui est une proposition fausse (F). ® La négation de la proposition fausse √ 2 ∈Q est la proposition vraie √ 2 < Q . b Conjonction Déﬁnition II.2 Soient P et Q deux propositions. La proposition « P et Q », appelé conjonction de P et de Q, est une proposition qui ® est vraie lorsque P et Q sont vrais simultanément, ® est fausse dans tous les autres cas.. On résume ceci dans la table de vérité : P Q P et Q V F F F V F V V V F F F On ecrit parfois P ∧Q au lieu de P et Q 2 2 c Disjonction Déﬁnition II.3 Soient P et Q deux propositions. La proposition « P ou Q », appelé disjonction de P et de Q, est une proposition qui ® est vraie lorsque lun au moins des deux propositions P et Q est vrai, ® est fausse lorsque les deux sont fausses. On résume ceci dans la table de vérité : P Q P ou Q V F V F V V V V V F F F On ecrit parfois P ∨Q au lieu de P ou Q Exemples Considérons les deux propositions P et Q suivantes : P : ”10 > 3” Q : ”π ∈Q” La proposition P est vraie tandis que la proposition Q est fausse. On en déduit les deux propositions : ® La proposition P et Q : ”10 > 3 et π ∈Q” est fausse ® La proposition P ou Q : ”10 > 3 ou π ∈Q” est vraie d Implication Déﬁnition II.4 Soient P et Q deux propositions. La proposition P ⇒Q est appelée implication de P vers Q est une proposition qui ® est fausse lorsque P est vraie et Q faux, ® est vraie dans tous les autres cas. On résume ceci dans la table de vérité : P Q P ⇒Q V F F F V V V V V F F V Exemples ® La proposition P”2 < 1 ⇒2 > 0”,est vraie ® La proposition P” √ 2 < Q ⇒2 , 0”,est vraie ® La proposition P”x < 1 ⇒x < 0”,est fausse ® La proposition Q : ”0 ⩽x ⩽25 ⇒√x ⩽25”,est vraie 3 3 • On dit que P est une condition suﬃsante pour Q. (car il suﬃt que P soit vraie pour qu’automatiquement, Q soit vraie). • On dit que Q est une condition nécessaire pour P (car il est nécessaire que Q soit vraie pour que P soit vraie). • Q ⇒P s’appellel’implication réciproque de P ⇒Q. • On dit que P est une condition suﬃsante pour Q. (car il suﬃt que P soit vraie pour qu’automatiquement, Q soit vraie). • On dit que Q est une condition nécessaire pour P (car il est nécessaire que Q soit vraie pour que P soit vraie). • Q ⇒P s’appellel’implication réciproque de P ⇒Q. Remarque Exemples • L’implication x = 2 ⇒x2 = 4 est vraie (il est suﬃsant que x soit égal à 2 pour que x2 = 4). • En revanche, l’implication réciproque x2 = 4 ⇒x = 2 est fausse (il n’est pas nécessaire que x soit égal à 2 pour que x2 = 4, l’autre possibilité étant x = -2). ® (P ⇒Q) et (Q ⇒R) se note P ⇒Q ⇒R ou P ⇒ Q ⇒ R e Equivalence Déﬁnition II.5 Soient P et Q deux propositions. La proposition P ⇔Q appelée equivalence de P et de Q est une proposition qui ® est vraie lorsque P et Q sont simultanement vrais ou faux, ® est faux dans tous les autres cas. On résume ceci dans la table de vérité : P Q P ⇔Q V F F F V F V V V F F V ® (P ⇔Q) et (Q ⇔R) se note P ⇔Q ⇔R ou P ⇔ Q ⇔ R 1 Si P ⇔Q, les deux propositions sont alors simultanément vraies ou simultanément fausses 2 On peut traduire P ⇔Qpar : • "P est vraie si et seulement si Q est vraie". • "P implique Q et réciproquement". • "P est une condition nécessaire et suﬃsante pour que Q soit vraie". • "Pour que Q soit vraie, il faut et il suﬃt que P soit vraie". 1 Si P ⇔Q, les deux propositions sont alors simultanément vraies ou simultanément fausses 2 On peut traduire P ⇔Qpar : • "P est vraie si et seulement si Q est vraie". • "P implique Q et réciproquement". • "P est une condition nécessaire et suﬃsante pour que Q soit vraie". • "Pour que Q soit vraie, il faut et il suﬃt que P soit vraie". Remarque 4 4 Exemples • (x ⩽y) ⇔(x < y ou x = y) • (x2 = 9) ⇔(x = 3 ou x = −3) • (x2 > 9 et x > 0) ⇔(x > 3). Propriété II.1 Soient P et Q deux propositions : 1 La proposition non(non(P)) est équivalente à P. 2 La proposition non(P et Q) est équivalente à non(P) ou non(Q) (1re loi de De Morgan). 3 La proposition non(P ou Q) est équivalente à non(P) et non(Q) (2re loi de De Morgan). 4 L’implication P ⇒Q est équivalente à (nonP) ou Q. 5 La proposition non(P ⇒Q). est équivalente à P et non(Q). 6 La proposition P ⇔Q est équivalente à (P ⇒Q) et (Q ⇒P). 7 La proposition P ⇒Q. est équivalente à non(Q) ⇒non(P). 8 La proposition P ⇔Q. est équivalente à non(P) ⇔non(Q). Exemple 1 La négation de la proposition ”10 > 3 et π ∈Q” est la proposition ”10 ⩽3 ou π < Q” 2 La négation de la proposition ”10 > 3 ou π ∈Q” est la proposition ”10 ⩽3 et π < Q” 3 La négation de la uploads/Philosophie/ cours1-biof.pdf