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ELÉMENTS DE LOGIQUE a 1.1. Le calcul propositionnel ou calcul assertionnel a. B

ELÉMENTS DE LOGIQUE a 1.1. Le calcul propositionnel ou calcul assertionnel a. But du calcul assertionnel Dans le cadre d'une théorie 1 mathématique "G donnée, une assertion est une phrase2 mathématique à laquelle on peut attribuer une et une seule valeur de vérité, à savoir vrai (Ven abrégé) ou faux (F en abrégé). Toutes les phrases d'une théorie ne sont pas des assertions; il en existe auxquelles il est impossible d'attacher une valeur de vérité; elles sont dites indécidables. Sans aborder cette question ici, signalons qu'il ne faut pas confondre "indécidable" et ·sans signification"; nous ne rencontrerons que peu de phrases indécidables; nous ne rencontrerons dans les exercices et exemples que des assertions vraies ou fausses, et des expressions sans signification mathématique. Une assertion P vraie est appelée proposition; on dit alors qu'on a P, ou que P est vraie. Selon l'importance qu'on donne à la proposition au sein de la théorie, celle-ci pourra aussi porter le nom de: théorème, corollaire, lemme3 , ... Dans la plupart des exemples que nous donnerons, ici et dans la suite, "G sera la théorie des nombres réels (sauf mention expresse). 1 Par exemple la théorie des groupes, la théorie des espaces vectoriels, ... ; de façon générale, nous désignerons, dans cet ouvrage, par théorie un ensemble de connaissances relatives à un domaine donné des mathématiques (la définition d'une théorie dépasse le cadre de cet ouvrage). 2 Nous n'aborderons pas la syntaxe du langage, c'est-à-dire la manière dont ces phrases sont construites. 3 Un théorème est une proposition jugée importante dans le développement de la théorie; un corollaire est une proposition qui est conséquence immédiate d'une proposition déjà démontrée; un lemme est une proposition intermédiaire utilisée au cours de la démonstration de certaines propositions. 7 Exemples (4 est un nombre ~ 0) est une proposition. (4 est un nombre < 0) est une assertion fausse. ({2) n'est pas une assertion car (...J2) n'est même pas une phrase. ({2 < 0) est une assertion fausse. x étant un réel donné, (fX > 0) est une assertion seulement si x ~ 0; car si x < 0, ...Jx n'existe pas et (...Jx > 0) n'a donc pas de signification (de sens). x étant un réel donné, (x + 2 > 0) est une proposition si x > -2, une assertion fausse si x:5 -2. (le ciel est bleu) n'est pas une assertion dans le cadre de la théorie des nombres réels. Soit 'G une théorie mathématique quelconque; 'G débute à partir du choix des axlomes1 (ou postulats) de la théorie (notons que la plupart des théories mathématiques admettent, entre autres, les propositions de la théorie des ensembles (voir le chapitre 3)); ces propositions de base et leurs négations permettent de construire les autres assertions de 'G. Si on appelle ~2 la classe des assertions de cette théorie, la théorie évolue au fur et à mesure de la découverte et de l'étude d'éléments de ~. et de l'obtention de leurs valeurs de vérité. De façon générale, en connectant, comme nous le ferons dans la suite, des éléments de ~ on obtient encore des éléments de ~,dont on étudie les valeurs de vérité grâce aux tables de vérité des connecteurs et à quelques règles logiques. Nous venons en fait de décrire la démarche du calcul propositionnel, que nous préférons appeler calcul assertionnel. Ce calcul est intéressant car les valeurs de vérité sont obtenues automatiquement et parce qu'il est valable pour toute théorie 'G; son succès est également important en automatique, informatique et dans l'étude des langages, par le biais notamment de la notion d'algèbre de Boole (G. Boole, 1815-1864) et de nombreux algorithmes que nous n'étudierons pas ici. , les axiomes sont des phrases de la théorie que l'on admet au départ comme vraies. 2 le lecteur pourra assimiler ·classe" et "ensemble", cette distinction dépassant le cadre de cet ouvrage. 8 1 1 Nous verrons comment les règles logiques peuvent être obtenues facilement à partir des tables de vérité, et, dans toute la suite, comment ces règles logiques peuvent être utilisées. Le calcul assertionnel est aussi un relais précieux pour l'étude des assertions quand la manipulation directe de celles-ci devient pénible. b. Assertions équivalentes Soient P et Q deux assertions de $i,. On dit que P est équivalente à Q, ou que P et Q sont équivalentes, si P et Q ont la même valeur de vérité. Exemples (4) 0) est équivalente à (4 est un nombre> 0); par simple réécriture. x étant un réel positif ou nul, (x = {; + 6) est équivalente à (x - 6 = {;); par simple transformation. (4) 0) est équivalente à (-2 < O); plus généralement. deux propositions P et Q sont toujours équivalentes, et deux assertions fausses le sont également. - (4) 0) n'est pas équivalente à (2 < 0). c. Négation d'une assertion Si P E 1 $i" la négation de P est l'assertion notée lP ou non P; elle est vraie si et seulement si P est fausse, comme le montre la table de vérité du connecteur 1: Exemples * lP V F F V - La négation de (1 est un entier> O) est (1 n'est pas un entier> 0). 1 "e' est le signe d'appartenance; P E J't se lit 'p est un élément de J't' ou encore 'p appartientà J't". 9 - La négation de (tout réel x vérifie l'inégalité x + 2 > 0) n'est pas (tout réel x ne vérifie pas l'inégalité x + 2 > O) ... (les deux assertions sont fausses !), mais l'assertion (il existe un réel x ne vérifiant pas l'inégalité x + 2> 0). Ce dernier exemple prouve que la négation d'une assertion ne se construit pas toujours aussi facilement que dans le premier exemple, par simple utilisation de ne ... pas. La négation du second exemple s'obtiendra facilement lors de l'étude des prédicats. d. Connecteurs binaires usuels Le connecteur l, introduit dans le paragraphe précédent, est dit unaire car il opère sur une assertion. Les connecteurs binaires opèrent eux sur deux assertions: ils permettent d'associer à deux assertions P et a de .1t. de nouvelles assertions de .1t. Les principaux connecteurs binaires sont: - le connecteur 1\ de conjonction qui fournit l'assertion P 1\ Q , appelée P et Q (ou conjonction de P et a). - le connecteur v de disjonction (inclusive) qui fournit l'assertion P v Q , appelée P ou Q (ou disjonction de P et a). - le connecteur ::::;> d'Implication qui fournit l'assertion P::::;> Q , appelée P Implication Q, ou encore assertion .p Implique Q". - le connecteur ~ d'équivalence (logique) qui fournit l'assertion P ~ Q, appelée P équivalence Q, ou encore assertion .p équivalente à Q". Chacun des connecteurs précédents est défini au moyen de sa table de vérité qui se trouve dans le tableau suivant: 10 r f P Q P"Q PvQ P==:.Q P(::}Q V V V V V V V F F V F F F V F V V F F F F F V V Par exemple, les colonnes 1, 2 et 5 constituent la table de vérité de l'implication. Ce tableau nécessite quelques commentaires: P 1\ a est vraie si et seulement si P et a sont toutes deux vraies; le "et" est donc pris au sens ordinaire. P va est vraie si et seulement si l'une (au moins) des deux assertions est vraie (si l'une des deux assertions est fausse alors l'autre est vraie); le "ou" n'est donc pas utilisé au sens exclusif: il n'a pas la signification de "ou bien". On notera encore que P v a est fausse si et seulement si P et a sont toutes deux fausses. - (P ~ a) est fausse si et seulement si P est vraie et a fausse; remarquons également que si P est fausse alors (P ==:. a) est vraie. (P (::} a) est vraie si et seulement si P et a sont équivalentes. Illustrons maintenant notre propos par des exemples. (4) a et 2> 0) est vraie; (4) a et 2 < 0) est fausse; et (4 < 0 et 2 < 0) a deux raisons d'être fausse. l'assertion (4) 0 ou 4 = 0), qui peut s'écrire plus rapidement (4 ~ 0), est vraie car (4) 0) est vraie. Par contre l'assertion (4 < a ou 4 = 0) est fausse puisque (4 < 0), et (4 = 0) sont deux assertions fausses. - les trois assertions (V2 > 0 ~ 1 > 0), (V2 < 0 ~ 1 > 0), a ~ 1 < 0) sont vraies. Par contre l'assertion (V2 > 0 ~ 1 < 0) est fausse car ( {2 > 0) est vraie et (1 < 0) est fausse. 11 Remarque 1 Ces trois derniers exemples illustrent que la vérité de (P => a) traduit autre chose que le fait de voir apparaître la vérité de a comme conséquence (au sens ordinaire, c'est-à-dire causal) de la vérité de P; toutefois, paradoxalement, pour montrer que (P => uploads/Philosophie/ 7-pdfsam-jean-claude-dupin-jean-luc-valein-introduction.pdf