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1 Formules trigonométriques et hyperboliques (à connaître par cœur) Formules d’

1 Formules trigonométriques et hyperboliques (à connaître par cœur) Formules d’addition : ૚. ࢉ࢕࢙ሺࢇ൅࢈ሻൌࢉ࢕࢙ࢇ ࢉ࢕࢙࢈െ࢙࢏࢔ࢇ ࢙࢏࢔࢈ ૛. ࢉ࢕࢙ሺࢇെ࢈ሻൌࢉ࢕࢙ࢇ ࢉ࢕࢙࢈൅࢙࢏࢔ࢇ ࢙࢏࢔࢈ ૜. ࢙࢏࢔ሺࢇ൅࢈ሻൌ ࢙࢏࢔ࢇ ࢉ࢕࢙࢈൅ࢉ࢕࢙ࢇ࢙࢏࢔࢈ ૝. ࢙࢏࢔ሺࢇെ࢈ሻൌ ࢙࢏࢔ࢇ ࢉ࢕࢙࢈െࢉ࢕࢙ࢇ࢙࢏࢔࢈ ૞. ࢚ࢍ ሺࢇ൅࢈ሻൌ࢚ࢍࢇ൅࢚ࢍ࢈ ૚െ࢚ࢍࢇ࢚ࢍ࢈ ૟. ࢚ࢍ ሺࢇെ࢈ሻൌ࢚ࢍࢇെ࢚ࢍ࢈ ૚൅࢚ࢍࢇ࢚ࢍ࢈ Formules de multiplication par deux : ૠ. ࢉ࢕࢙૛ࢇൌࢉ࢕࢙૛ࢇെ࢙࢏࢔૛ࢇൌ૛ࢉ࢕࢙૛ࢇെ૚ൌ૚െ૛࢙࢏࢔૛ࢇൌ૚െ ࢚ࢍ૛ࢇ ૚൅ ࢚ࢍ૛ࢇ ૡ. ࢙࢏࢔૛ࢇൌ૛࢙࢏࢔ࢇࢉ࢕࢙ࢇൌ ૛ ࢚ࢍ ࢇ ૚൅ ࢚ࢍ૛ࢇ ૢ. ࢚ࢍ૛ࢇൌ ૛ ࢚ࢍࢇ ૚െ ࢚ࢍ૛ࢇ ૚૙. ࢉ࢕࢙૛ࢇൌ૚൅ ࢉ࢕࢙૛ࢇ ૛ ૚૚. ࢙࢏࢔૛ࢇൌ૚െ ࢉ࢕࢙૛ࢇ ૛ Formules de transformation de produits en sommes : ૚૛. ࢉ࢕࢙ࢇࢉ࢕࢙࢈ൌ ૚ ૛ሾࢉ࢕࢙ሺࢇ൅࢈ሻ൅ࢉ࢕࢙ሺࢇെ࢈ሻሿ ૚૜. ࢙࢏࢔ࢇ࢙࢏࢔࢈ൌ૚ ૛ሾࢉ࢕࢙ሺࢇെ࢈ሻെࢉ࢕࢙ሺࢇ൅࢈ሻሿ ૚૝. ࢙࢏࢔ࢇࢉ࢕࢙࢈ൌ૚ ૛ሾ࢙࢏࢔ሺࢇ൅࢈ሻ൅࢙࢏࢔ሺࢇെ࢈ሻሿ ૚૞. ࢉ࢕࢙ࢇ࢙࢏࢔࢈ൌ૚ ૛ሾ࢙࢏࢔ሺࢇ൅࢈ሻെ࢙࢏࢔ሺࢇെ࢈ሻሿ 2 Formules de transformation de sommes en produits: ૚૟. ࢉ࢕࢙ࢇ൅ࢉ࢕࢙࢈ൌ ૛ࢉ࢕࢙ࢇ൅࢈ ૛ ࢉ࢕࢙ࢇെ࢈ ૛ ૚ૠ. ࢉ࢕࢙ࢇെࢉ࢕࢙࢈ൌെ ૛ ࢙࢏࢔ࢇ൅࢈ ૛ ࢙࢏࢔ࢇെ࢈ ૛ ૚ૡ. ࢙࢏࢔ࢇ൅࢙࢏࢔࢈ൌ ૛࢙࢏࢔ࢇ൅࢈ ૛ ࢉ࢕࢙ࢇെ࢈ ૛ ૚ૢ. ࢙࢏࢔ࢇെ࢙࢏࢔࢈ൌ ૛ࢉ࢕࢙ࢇ൅࢈ ૛ ࢙࢏࢔ࢇെ࢈ ૛ Changement de variable : Si on pose ૛ࢇൌ࢞ et ࢚ࢍ ࢇൌ࢚ࢍ ࢞ ૛ alors, sous les conditions appropriées: ૛૙. ࢉ࢕࢙࢞ൌ૚െ࢚૛ ૚െ࢚૛ ૛૚. ࢙࢏࢔࢞ൌ ૛࢚ ૚൅࢚૛ ૛૛. ࢚ࢍ ࢞ൌ ૛࢚ ૚െ࢚૛ Formule d’Euler : ࢋ࢏࢞ൌࢉ࢕࢙࢞൅࢏ ࢙࢏࢔࢞ où : ࢏૛ൌെ૚ En utilisant la formule d’Euler on obtient : ૛૜. ܋ܗܛ࢞ൌࢋ࢏࢞ ൅ ࢋି࢏࢞ ૛ ૛૝. ܛܑܖ࢞ൌ ࢋ࢏࢞ െ ࢋି࢏࢞ ૛ ૛૞. ࢚ࢍ ࢞ൌࢋ࢏࢞ െ ࢋି࢏࢞ ࢋ࢏࢞ ൅ ࢋି࢏࢞ൌ૚െࢋି૛࢏࢞ ૚൅ࢋି૛࢏࢞ ૛૟. ࢉ࢕࢚ࢍ ࢞ൌࢋ૛࢏࢞൅૚ ࢋ૛࢏࢞െ૚ 3 Fonctions Hyperboliques 1. ࢉࢎ ࢞ൌ ࢋ࢞ ା ࢋష࢞ ૛ définie sur tout Թ 2. ࢙ࢎ ࢞ൌ ௘ೣି ௘షೣ ଶ définie sur tout Թ 3. ࢚ࢎ ࢞ൌ ࢙ࢎ ࢞ ࢉࢎ ࢞ définie sur tout Թ 4. ࢉ࢕࢚ࢎ ࢞ൌ ࢉࢎ ࢞ ࢙ࢎ ࢞ définie sur tout Թ ך ሼ૙ሽ Propriétés : 1. ࢉࢎሺെ࢞ሻൌࢉࢎ ࢞ 2. ࢙ࢎ ሺെ࢞ሻൌെ࢙ࢎ ࢞ 3. ࢉࢎ ࢞൅ ࢙ࢎ ࢞ൌࢋ࢞ 4. ࢉࢎ ࢞െ ࢙ࢎ ࢞ൌࢋି࢞ 5. ࢉࢎ૛࢞െ࢙ࢎ૛࢞ൌ૚ 6. ࢚ࢎ ࢞ൌ ௘ೣି ௘షೣ ࢋ࢞ ା ࢋష࢞ൌ ૚ିࢋష૛࢞ ૚ାࢋష૛࢞ , ࢚ࢎሺെ࢞ሻൌെ࢚ࢎ ࢞ 7. ࢉ࢕࢚ࢎൌ ࢋ૛࢞ା૚ ࢋ૛࢞ି૚ , ࢉ࢕࢚ࢎሺെ࢞ሻൌെࢉ࢕࢚ࢎ ࢞ Formules d’addition : ࢉࢎሺࢇ൅࢈ሻൌࢉࢎࢇ ࢉࢎ࢈൅࢙ࢎࢇ ࢙ࢎ࢈ ࢉࢎሺࢇെ࢈ሻൌࢉࢎࢇ ࢉࢎ࢈െ࢙ࢎࢇ ࢙ࢎ࢈ ࢙ࢎሺࢇ൅࢈ሻൌ ࢙ࢎࢇ ࢉࢎ࢈൅ࢉࢎࢇ࢙ࢎ࢈ ࢙ࢎሺࢇെ࢈ሻൌ ࢙ࢎࢇ ࢉࢎ࢈െࢉࢎࢇ࢙ࢎ࢈ ࢚ࢍ ሺࢇ൅࢈ሻൌ࢚ࢎࢇ ൅ ࢚ࢎ࢈ ૚ ൅ ࢚ࢎࢇ࢚ࢎ࢈ sous les conditions appropriées ࢚ࢍ ሺࢇെ࢈ሻൌ࢚ࢎࢇ െ ࢚ࢎ࢈ ૚ െ ࢚ࢎࢇ࢚ࢎ࢈ sous les conditions appropriées Dérivées : 1. ࢉࢎᇱ࢞ൌ࢙ࢎ ࢞ 2. ࢙ࢎᇱ࢞ൌࢉࢎ ࢞ 3. ࢚ࢎᇱ࢞ൌ૚െ࢚ࢎ૛࢞ൌ ૚ ࢉࢎ ૛࢞ 4. ࢉ࢕࢚ࢎᇱ࢞ൌ૚െࢉ࢕࢚ࢎ૛࢞ൌ ି૚ ࢙ࢎ ૛࢞ 4 Fonctions Hyperboliques réciproques 1. Argument sinus hyperbolique : ࢟ൌ࡭࢘ࢍ ࢙ࢎ ࢞ ฻ ࢞ൌ࢙ࢎ ࢟ où ࢞א Թ ࢋ࢚ ࢟א Թ ࡭࢘ࢍ ࢙ࢎ ࢞ ൌ࢒࢕ࢍ ሺ࢞൅ඥ૚൅࢞૛ ሻ 2. Argument cosinus hyperbolique : ࢟ൌ࡭࢘ࢍ ࢉࢎ ࢞ ฻ ࢞ൌࢉࢎ ࢟ où ࢞൒૚ ࢋ࢚ ࢟א Թା ࡭࢘ࢍ ࢉࢎ ࢞ ൌ࢒࢕ࢍ ൫࢞൅√࢞૛െ૚ ൯ 3. Argument tangente hyperbolique : ࢟ൌ࡭࢘ࢍ ࢚ࢎ ࢞ ฻ ࢞ൌ࢚ࢎ ࢟ où ࢞א ሿെ૚, ൅૚ሾ ࢋ࢚ ࢟א Թ ࡭࢘ࢍ ࢚ࢎ ࢞ ൌ ૚ ૛ ࢒࢕ࢍ ૚ା࢞ ૚ି࢞ 4. Argument cotangente hyperbolique : ࢟ൌ࡭࢘ࢍ ࢉ࢕࢚ࢎ ࢞ ฻ ࢞ൌࢉ࢕࢚ࢎ ࢟ où ࢞א Թ ך ሿെ૚, ൅૚ሾ ࢋ࢚ ࢟א Թכ ࡭࢘ࢍ ࢉ࢕࢚ࢎ ࢞ ൌ૚ ૛ ࢒࢕ࢍ ࢞൅૚ ࢞െ૚ 5. Dérivées : En utilisant la formule : ሺ݂ିଵሻԢ ൌ 1 ݂ᇱל ݂ିଵ on obtient : 1. ࡭࢘ࢍ ࢙ࢎᇱ ࢞ൌ ૚ ඥ૚൅࢞૛ , ࢞א Թ 2. ࡭࢘ࢍ ࢉࢎᇱ࢞ൌ ૚ ඥ࢞૛െ૚ , ࢞൒૚ 3. ࡭࢘ࢍ ࢚ࢎᇱ ࢞ൌ ૚ ૚െ࢞૛ , െ૚൏ݔ൏൅1 4. ࡭࢘ࢍ ࢉ࢕࢚ࢎᇱ ࢞ൌ ૚ ૚െ࢞૛ , ࢞൏െ1 ݋ݑ ݔ൐൅1 5 Liste des primitives usuelles 1. ׬ ࢞ࢻࢊ࢞ൌ ࢞ࢻశ૚ ࢻା૚൅࡯ , ࢻ്െ૚ 2. ׬ ࢊ࢞ ࢞ൌ࢒࢕ࢍ|࢞| ൅࡯ 3. ׬ ࢙࢏࢔ ࢞ ࢊ࢞ൌെࢉ࢕࢙ ࢞൅࡯ 4. ׬ ࢉ࢕࢙ ࢞ ࢊ࢞ൌ࢙࢏࢔ ࢞൅࡯ 5. ׬ ࢊ࢞ ࢉ࢕࢙૛࢞ൌ࢚ࢍ ࢞൅࡯ 6. ׬ ࢊ࢞ ࢙࢏࢔૛࢞ൌെࢉ࢕࢚ࢍ ࢞൅࡯ 7. ׬ ࢚ࢍ ࢞ ࢊ࢞ൌെ࢒࢕ࢍ|ࢉ࢕࢙ ࢞| ൅࡯ 8. ׬ ࢉ࢕࢚ࢍ ࢞ ࢊ࢞ൌ ࢒࢕ࢍ|࢙࢏࢔ ࢞| ൅࡯ 9. ׬ ࢋ࢞ࢊ࢞ൌࢋ࢞൅࡯ 10. ׬ ࢇ࢞ࢊ࢞ൌ ࢇ࢞ ࢒࢕ࢍ ࢇ൅࡯ 11. ׬ ࢊ࢞ ૚ା࢞૛ൌ࡭࢘ࢉ ࢚ࢍ࢞൅࡯ 12. ׬ ࢊ࢞ ࢇ૛ା࢞૛ൌ ૚ ࢇ࡭࢘ࢉ ࢚ࢍ ࢞ ࢇ൅࡯ 13. ׬ ࢊ࢞ ࢇ૛ି࢞૛ൌ ૚ ૛ࢇ࢒࢕ࢍቚ ࢇା࢞ ࢇି࢞ቚ൅࡯ 14. ׬ ࢊ࢞ ඥ૚ି࢞૛ൌ࡭࢘ࢉ ࢙࢏࢔ ࢞൅࡯ 15. ׬ ࢊ࢞ ඥࢇ૛ି࢞૛ൌ࡭࢘ࢉ ࢙࢏࢔ ࢞ ࢇ൅࡯ 16. ׬ ࢊ࢞ ඥ࢞૛ േ ࢇ૛ൌ࢒࢕ࢍቚ࢞൅ඥ࢞૛േࢇ૛ቚ൅࡯ 17. ׬ ࢊ࢞ ඥ࢞૛ି૚ൌ࡭࢘ࢍ ࢉࢎ ࢞൅࡯ ൌ࢒࢕ࢍ ห࢞൅√࢞૛െ૚ห , ࢞൐૚ 18. ׬ ࢊ࢞ ඥ࢞૛ି૚ൌെ ࡭࢘ࢍ ࢉࢎ ሺെ࢞ሻ൅࡯ ൌ࢒࢕ࢍ ห࢞൅√࢞૛െ૚ห , ࢞൏െ1 19. ׬ ࢊ࢞ ඥ૚ି࢞૛ൌ࡭࢘ࢍ ࢚ࢎ ࢞൅࡯ൌ ૚ ૛࢒࢕ࢍ ૚ା࢞ ૚ି࢞ , |࢞| ൏1 20. ׬ ࢊ࢞ ඥ૚ି࢞૛ൌ࡭࢘ࢍ ࢉ࢕࢚ࢎ ࢞൅࡯ൌ ૚ ૛࢒࢕ࢍ ૚ା࢞ ૚ି࢞ , |࢞| ൐1 න݂ൌܨ൅ܥ නሺ݂൅݃ሻൌܨ൅ܩ൅ܥ නሺߣ݂ሻൌߣܨ൅ܥ න݂ᇱ݃൅݂݃ᇱൌ݂݃൅ܥ න݂ᇱ݃െ݂݃Ԣ ݃ଶ ൌ݂ ݃൅ܥ , ്݃0 න݂஑݂ᇱൌ݂ఈାଵ ߙ൅1 ൅C න݂Ԣ ݂ఈൌ 1 1 െߙ 1 ݂ଵି஑൅C , ߙ്െ1 න݂Ԣ ݂ൌlog|݂| ൅C Si on écrit formellement : où F est une primitive de ݂ et ܥ est une constante alors, uploads/Philosophie/ formules-a-connaitre-par-coeur.pdf