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Introduction À la limite de la philosophie, la logique est une branche fondamen

Introduction À la limite de la philosophie, la logique est une branche fondamentale des mathématiques qui permet d'établir la valeur de vérité de propositions et de construire des raisonnements mathématiques. Logique mathématique La logique mathématique ou métamathématique est une discipline des mathématiques introduite à la fin du XIXe siècle, qui s'est donné comme objet l'étude des mathématiques en tant que langage. Les objets fondamentaux de la logique mathématique sont les formules modélisant les énoncés mathématiques, les dérivations ou démonstrations formelles modélisant les raisonnements mathématiques et les sémantiques ou modèles qui définissent le « sens » des formules (et parfois même des démonstrations) comme certains invariants : par exemple l'interprétation des formules du calcul des prédicats dans les structures permet de leur affecter une valeur de vérité. Histoire de la logique mathématique Naissance de la logique mathématique et logicisme La logique mathématique est née à la fin du XIXe siècle de la logique au sens philosophique du terme ; elle est l'une des pistes explorées par les mathématiciens de cette époque afin de résoudre la crise des fondements provoquée par la complexification des mathématiques et l'apparition des paradoxes. Ses débuts sont marqués par la rencontre entre deux idées nouvelles : la volonté chez Frege, Russell, Peano et Hilbert de donner une fondation axiomatique aux mathématiques ; la découverte par George Boole de l'existence de structures algébriques permettant de définir un « calcul de vérité ». La logique Booléenne En 1847, George Boole invente une algèbre pour traiter les variables binaires. Il définit 3 opérateurs de base, ainsi qu’une foule de règles et de postulats. En 1900 au cours d'une très célèbre conférence au congrès international des mathématiciens à Paris, David Hilbert a proposé une liste des 23 problèmes non résolus les plus importants des mathématiques . Le deuxième était celui de la cohérence de l'arithmétique, c’est-à-dire de démontrer par des moyens finitistes la non-contradiction des axiomes de l'arithmétique. La logique à partir des années 1930 et Kurt Gödel En 1929 Kurt Gödel montre dans sa thèse de doctorat son théorème de complétude qui énonce le succès de l'entreprise de formalisation des mathématiques : tout raisonnement mathématique peut en principe être formalisé dans le calcul des prédicats. Ce théorème a été accueilli comme une avancée notable vers la résolution du programme de Hilbert, mais un an plus tard, Gödel démontrait le théorème d'incomplétude (publié en 1931) qui montrait irréfutablement l'impossibilité de réaliser ce programme. Intérêt de la logique mathématique dans les mathématiques Interactions entre la logique et les mathématiques L'intérêt principal de la logique réside dans ses interactions avec d'autres domaines des mathématiques et les nouvelles méthodes qu'elle y apporte. De ce point de vue les réalisations les plus importantes viennent de la théorie des modèles qui est parfois considérée comme une branche de l'algèbre plutôt que de la logique ; la théorie des modèles s'applique notamment en théorie des groupes et en combinatoire (théorie de Ramsey). D'autres interactions très productives existent toutefois : le développement de la théorie des ensembles est intimement lié à celui de la théorie de la mesure et a donné lieu à un domaine mathématique à part entière, la théorie descriptive des ensembles. La théorie de la calculabilité est l'un des fondements de l'informatique théorique. Depuis la fin du XXe siècle on a vu la théorie de la démonstration s'associer à la théorie des catégories et par ce biais commencer à interagir avec la topologie algébrique. D'autre part avec l'apparition de la logique linéaire elle entretient également des liens de plus en plus étroit avec l'algèbre linéaire, voire avec la géométrie non commutative. Formalisation La formalisation des mathématiques dans des systèmes logiques, qui a suscité en particulier les travaux de Whitehead et Russell, a été l'une des grandes motivation du développement de la logique mathématique. L'apparition d'outils informatiques spécialisés, démonstrateurs automatiques, systèmes experts et assistants de preuve, ont donné un nouvel intérêt à ce programme. Les assistants de preuve en particulier ont plusieurs applications en mathématique. Tout d'abord dans la fin du XXe siècle et au début du XXIe siècle deux anciennes conjectures ont été résolues en faisant appel à l'ordinateur pour traiter un très grand nombre de cas : le théorème des quatre couleurs et la conjecture de Kepler. Les doutes soulevés par cette utilisation de l'ordinateur ont motivé la formalisation et la vérification complète de ces démonstrations. Le théorème des quatre couleurs indique qu'il est possible, en n'utilisant que quatre couleurs différentes, de colorier n'importe quelle carte découpée en régions connexes, de sorte que deux régions adjacentes (ou limitrophes), c'est-à-dire ayant toute une frontière (et non simplement un point) en commun reçoivent ... Introduction aux fonctions logiques Systèmes binaires Deux états fondamentaux et distincts; Vrai/Faux, Marche/Arrêt, Oui/Non. Par convention: Un état est représenté par « 0 »; L’autre est représenté par « 1 ». Types de représentation Les fonctions logiques peuvent être représentées de plusieurs façons: Équations logiques Tables de vérités Logigrammes Diagrammes échelle (Ladder) Ces représentations seront introduites avec les fonctions de base... Logique: Le programme du secondaire En préambule : Initiation au raisonnement et langage mathématiques Le développement de l’argumentation et l’entraînement à la logique font partie intégrante des exigences des classes de lycée. Dans les programmes actuels : 1-Au deuxième cycle de l’enseignement de base :  -التمرن على طريقتي االستدالل الرّ ياضي : االستقراء واالستنتاج.  -البرهنة باعتماد االستدالل. 2-Au secondaire : a- En 1ère et en 2ème année secondaire Les élèves développent des raisonnements : • Ils émettent des conjectures en utilisant un raisonnement inductif ou un raisonnement déductif ou par l’absurde. • Ils produisent un argument pour valider une affirmation en utilisant des inférences et des déductions • Ils développent des chaînes de raisonnement déductif pour prouver une conjecture ou un résultat. • Ils produisent un contre-exemple pour montrer qu’une assertion est fausse. • Ils vérifient des résultats et jugent s’ils sont raisonnables. • Ils distinguent entre une conjecture et un résultat démontré. • Ils distinguent entre une implication et une équivalence. b- En 3ème et en 4ème année secondaire Les élèves développent des raisonnements : • Ils émettent des conjectures en utilisant un raisonnement déductif ou un raisonnement par l’absurde ou un raisonnement par récurrence. • Ils développent des chaînes de raisonnement déductif pour prouver une conjecture ou un résultat. • Ils produisent un contre-exemple pour montrer qu’une assertion est fausse. • Ils vérifient des résultats et jugent s’ils sont raisonnables. • Ils distinguent entre une conjecture et un résultat démontré. • Ils distinguent entre une implication et une équivalence, entre une condition nécessaire et une condition suffisante. c- En 3ème année section sciences de l’informatique La logique est exigée comme contenu disciplinaire à enseigner : • Notion de proposition, table de vérité, négation d'une proposition. • Connecteurs logiques : conjonction, disjonction, implication, équivalence. • Loi de Morgan non (A ou B) = (non A) et (non B) • Raisonnement par récurrence. leurs pousser à penser aux raisons derrière chaque étape de résolution, chaque calcul, chaque prise de décision toujours poser des questions qui vont leurs pousser à trouver la solution d’un problème aider à répondre les questions quoi, pourquoi, quand, où et comment encadrer les concepts comme cause et effet illustrer le lien entre les divers leçons apprises, pour qu’ils puissent les assimiler logiquement aider à reconnaître et se souvenir des patrons (logiques, numériques, mathématiques) aider à décortiquer leurs apprentissages en plusieurs étapes et aider à identifier les liens entre chaque étape Comment appuyer les élèves Activités Trois personnes, Ali (A), Brahim (B) et Chérif (C) exercent chacun une profession différente : pharmacien, dentiste et chirurgien. Sachant que les implications suivantes sont vraies, retrouver leur profession : A chirurgien =) B dentiste , A dentiste =) B pharmacien , B non chirurgien =) C dentiste . On a cinq maisons alignées de couleurs différentes. Dans chaque maison vit une personne de nationalité différente. Chaque personne boit une boisson différente. Chaque personne fume un type de cigarette différent. Chaque personne élève un animal différent. Il faut trouver qui élève les poissons. L’énigme d’Einstein Indices : 1) L'anglais vit dans la maison rouge 2) Le suédois élève des chiens 3) Le danois boit du thé. 4) La maison verte est juste à gauche de la maison blanche. 5) Le propriétaire de la maison verte boit du café. 6) Le fumeur de Pall Mall élève des oiseaux. 7) Le propriétaire de la maison jaune fume des Dunhills. 8) L'homme qui vit dans la maison du centre boit du lait. 9) Le norvégien vit dans la première maison. 10) L'homme qui fume des Blends vit à côté de celui qui élève des chats. 11) L'homme qui élève des chevaux vit à côté du fumeur de Dunhills. 12) L'homme qui fume des Blue Masters boit de la bière. 13) L'allemand fume des Prince. 14) Le norvégien vit à côté de la maison bleue. 15) L'homme qui fume des Blends a un voisin qui boit de l'eau Trois "tours" A, B et C formées d'un empilement plus ou moins grand de disques de uploads/Philosophie/cours-10-fevrier-2021.pdf