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Volume 10 • Hiver-printemps 2015 Rubrique des Le grand méchant logicien Pleins

Volume 10 • Hiver-printemps 2015 Rubrique des Le grand méchant logicien Pleins feux sur la lumière Autresarticles • Construire une image médicale • Un éclairage mathématique sur la dynamique des lasers • Conﬁdences d’Archimède : où le maître-géomètre divulgue un joli truc du métier de son cru • Prévoir les ressources nécessaires pour atteindre son but : le cas d’espèce de la sonde Rosetta Rédacteur en chef André Ross Professeur de mathématiques Comité éditorial Pietro-Luciano Buono Professeur de mathématiques University of Ontario Institute of Technology France Caron Professeure de didactique des mathématiques Université de Montréal Philippe Etchécopar Professeur de mathématiques Cégep de Rimouski Christian Genest Professeur de statistique Université McGill Frédéric Gourdeau Professeur de mathématiques Université Laval Bernard R. Hodgson Professeur de mathématiques Université Laval Stéphane Laplante Enseignant de mathématiques Collège de Montréal Christiane Rousseau Professeure de mathématiques Université de Montréal Production et Iconographie Alexandra Haedrich Institut des sciences mathématiques Conception graphique Pierre Lavallée Néograf Design inc. Illustrations de scientiﬁques et caricatures Alain Ross Noémie Ross Illustrations mathématiques André Ross Révision linguistique Robert Wilson Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Institut des sciences mathématiques Université du Québec à Montréal Case postale 8888, succ. Centre-ville Montréal (Québec) H3C 3P8 Canada T 514 987-3000 poste 1811 redaction@accromath.ca www.accromath.ca ISSN 1911-0189 Dans ce numéro... L’année 2015 a été proclamée Année internationale de la lumière et des technologies fondées sur la lumière (AIL 2015) par l’Assemblée générale des Nations Unies. Pour associer Accromath à cette célébration, nous avons pensé vous rappeler tout d’abord que deux articles en lien avec ce thème sont déjà parus, Les miroirs ardents, de Christiane Rousseau et Yvan Saint- Aubin, volume 2.1, hiver-printemps 2007 et Jeux de lumière et d’interfé- rence, d’Yvan Saint-Aubin, volume 9.2, été-automne 2014. Le premier article, Pleins feux sur la lumière, présente en accéléré l’évolution des théories sur la lumière de l’Antiquité jusqu’au XVIIe siècle. Depuis les travaux de James Clerk Maxwell, le terme « lumière » regroupe, dans son sens large, toutes les ondes électromagnétiques. C’est cette acception que nous avons retenue pour ce numéro. Il s’agit par exemple des ondes élec- tromagnétiques qui permettent de recueillir l’information lors d’un examen par scanner : l’appareil envoie alors des rayons X dans un plan transversal et mesure l’énergie absorbée lorsque ces rayons traversent le corps. À partir de ces mesures, il faut Construire une image médicale. Christiane Rousseau nous présente les mathématiques utilisées dans cette construction. Thomas Erneux et Pietro-Luciano Buono, dans Un éclairage mathématique sur la dynamique des lasers, nous expliquent l’apport des équations diffé- rentielles dans la recherche sur les lasers aﬁn d’en assurer la ﬁabilité. Marie Beaulieu et Bernard R. Hodgson nous présentent, dans Conﬁdences d’Archimède : où le maître-géomètre divulgue un joli truc du métier de son cru, la méthode utilisée par Archimède pour déterminer certaines relations mathématiques, telle celle donnant l’aire délimitée par une parabole et une sécante à celle-ci. Dans Prévoir les ressources nécessaires pour atteindre son but : le cas d’espèce de la sonde Rosetta, Christian Genest et James A. Hanley nous expliquent comment un modèle probabiliste peut guider un décideur dans le choix du nombre de pièces de rechange nécessaires pour qu’un système complexe comme la sonde soit encore opérationnel une fois rendu à destination, après un périple de dix ans. Dans la rubrique des paradoxes, Jean-Paul Delahaye nous présente Le grand méchant logicien. Celui-ci a pris en otage un nombre impair de logiciens qu’il veut incorporer dans sa secte, mais il leur laisse une chance de s’en sortir. Ils doivent voter majoritairement sur un événement qui à première vue semble avoir une probabilité de 1/2. Bonne lecture! André Ross Éditori l 1 Vol. 10 • hiver – printemps 2015 Volume 10 • Hiver-Printemps 2015 16 6 18 Sommaire DossierMathématiques et lumière Pleins feux sur la lumière 2 André Ross Construire une image médicale 6 Christiane Rousseau Un éclairage mathématique sur la dynamique des lasers 12 Thomas Erneux et Pietro-Luciano Buono DossierHistoire des mathématiques Conﬁdences d’Archimède : où le maître-géomètre divulgue un joli truc du métier de son cru 18 Marie Beaulieu et Bernard R. Hodgson DossierProbabilités et statistique Prévoir les ressources nécessaires pour atteindre son but : le cas d’espèce de la sonde Rosetta 24 Christian Genest et James A. Hanley Rubrique des Paradoxes Le grand méchant logicien 30 Jean-Paul Delahaye Solution du paradoxe précédent 31 Jean-Paul Delahaye Section problèmes 32 12 30 1. Le phénomène de la réﬂexion était connu dès l’Antiquité. Voir Les miroirs ardents, de Christiane Rousseau et Yvan St-Aubin, volume 2.1, hiver-printemps 2007 2 Vol. 10 • hiver – printemps 2015 DossierLumière La compréhension d’un phénomène physique donne souvent lieu à la confrontation de diverses théories. Dans les tentatives pour expliquer la vision et les phénomènes optiques se sont opposées, dans l’Antiquité, la théorie de l’émission et celle de l’intromission, et plusieurs siècles plus tard, la théorie corpusculaire et la théorie ondulatoire. L’optique selon les penseurs grecs Pour les penseurs de la Grèce antique, tous les corps sont constitués en proportions variables des quatre éléments : terre, eau, air et feu. Ils en sont venus tout naturellement à penser que les corps pouvaient émettre des particules de feu, ce qui a constitué la première forme d’explication du phénomène de la vision. Deux théories ont été échafaudées dans l’Antiquité : la théorie de l’émission et celle de l’intromission. La théorie de l’émission, défendue par Euclide (~325 à ~265) et Ptolémée (85-165), postule que l’œil émet la lumière. L’ouvrage le plus ancien soutenant cette théorie a été rédigé par Euclide vers ~280. Ce texte, qui s’inscrit dans la continuité de la pensée de Platon, présente le savoir de l’époque. La lumière est émise par l’œil sous forme de rayons qui sont interceptés par les objets. André Ross Professeur retraité Selon la théorie de l’intromission, défendue par Aristote (~385 à ~322) et ses disciples, ce sont les formes physiques qui entrent dans l’œil en provenance des objets. Théorie de l’intromission Contrairement à la conception moderne, la lumière n’a pas d’existence propre dans ces deux théories, elle n’existe que dans le champ de vision de l’observateur. Certains phénomènes optiques, comme la réﬂexion1 et la réfraction, ont été observés très tôt, mais étaient difﬁcilement explicables par les théories de la vision héritées des penseurs grecs. Démocrite pensait que les corps lumi- neux émettent des particules qui viennent inﬂuencer l’oeil. Pour d’autres philosophes, ce sont des corpuscules émises par l’œil qui, heurtant les objets, les rendent visibles. Platon croit plutôt que l’œil et l’objet observé émettent des particules dont la rencontre provoque le phénomène de vision. Pour émettre de telles particules, un corps doit comporter une certaine pro- portion de l’élément feu. Voici comment Platon explique ce phénomène : Quand donc la lumière du jour entoure le ﬂux issu des yeux, alors le feu intérieur qui s’échappe, le semblable allant vers le sem- blable, après s’être combiné avec la lumière du jour, se constitue en un seul corps ayant les mêmes propriétés tout le long de la droite issue des yeux, quel que soit l’endroit où le feu jailli de l’intérieur entre en contact avec le feu qui provient des objets extérieurs. Mais, lorsque le feu extérieur se retire pour faire place à la nuit, il se trouve coupé du feu intérieur qui lui est apparenté. En effet, comme en sortant il tombe sur quelque chose qui n’est pas semblable à lui, le feu intérieur devient autre et s’éteint, n’ayant plus de communauté de nature avec l’air environnant, puisque celui-ci ne contient plus de feu. L’optique selon Démocrite et Platon Pleins feux sur la lumière 3 Vol. 10 • hiver – printemps 2015 Pleins feux sur la lumière | André Ross • Professeur retraité Phénomène de réfraction Ces théories ont quand même persisté jusqu’à la Renaissance en Europe, mais avaient été remises en question quelques siècles aupa- ravant par des savants du monde islamique. L’optique dans le monde islamique Le mathématicien persan Ibn Sahl (940-1000), rattaché à la cour de Bagdad, a rédigé, vers 984, un ouvrage sur les miroirs ardents et les lentilles dans lequel il explique comment les miroirs courbes et les lentilles peuvent focaliser la lumière en un point. Il s’intéresse aux phénomènes de rélexion et de réfraction et fait les premières recherches en optique géométrique. Un disciple de Ibn Sahl, l’astronome, médecin, philosophe et physicien Al-Haytam (965-1039) a poursuivi des recherches en optique. Al-Haytam, connu en Occident sous le nom latinisé Alhazen, est né en 965 à Bassorah, dans l’actuel Irak, et a vécu principalement au Caire. Il a rédigé un Traité d’optique qui porte sur l’optique géométrique et physio- logique. Dans ses recherches en optique, Alhazen développe une démarche d’inves- tigation qui est très proche de la méthode scientiﬁque moderne ( NH Alhazen01). Son Traité d’optique comporte sept volumes dont le premier présente les deux théories antiques, l’émission et l’intromission. Il fait remarquer que les deux théories sont contra- dictoires, par conséquent ou l’une est vraie et l’autre fausse, ou toutes les deux sont fausses. Pour trancher, Alhazen indique qu’il faut étudier le phénomène uploads/Philosophie/ accromath10-1.pdf