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04/03/2018 1 AXIOMES DE PROBABILITE ET DENOMBREMENT CHAPITRE 2 Introduction  L

04/03/2018 1 AXIOMES DE PROBABILITE ET DENOMBREMENT CHAPITRE 2 Introduction  La probabilité intervient dans l'étude d´un phénomène partiellement ou complètement imprévisible. Elle est à la base de plusieurs théories et appliquées dans diverses disciplines : la mécanique quantique, la fiabilité, la météorologie, les radars, les sonars, les télécommunications, ainsi que les secteurs industriel, agricole, financier, scientifique et politique. 04/03/2018 2 DEFINITIONS Expérience aléatoire Une expérience aléatoire est une expérience se caractérisant de deux façons: 1. On ne peut pas prédire avec certitude le résultat. 2. Nous pouvons décrire à priori l’ensemble de tous les résultats possibles. L’espace de tous les résultats possibles de l’expérience est appelé espace d’états. Il est noté . Un résultat possible de l’expérience est noté donc      Exemples Lancer une pièce de monnaie Lancer un dé Attendre l’arrivé d’un autobus qui arrivera entre 4h00 et 4h15     1 , 0 assimilé serait qui ,     à F P   6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1     15 , 0   04/03/2018 3 Evénement aléatoire  Un événement aléatoire associé à une expérience est un sous ensemble de . Exemples: 1. Lancer une pièce de monnaie 3 fois. Considérons les événements suivants: A: « Obtenir face au premier lancer »    fff ffp fpf fpp , , , A    fff pff fpf ffp , , , B    5 , 0  C B: « Obtenir un nombre de face supérieur ou égale au nombre de pile » C: « Attendre l’autobus moins de 5 mn » Notions de calcul combinatoire On appelle p-liste de E, un ensemble à n éléments, toute suite de p éléments de E : (x1, x2, x3, …, xp), avec xi E, i, i = 1, …, p. Le nombre de p-listes d’un ensemble E ayant n éléments est: Exemples : E = {R, V, B} : (R, B, B, V, V, R) est une 6-liste de E. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} : (1, 1, 2, 5, 4) est une 5-liste de E. P n Une p-liste est toujours ordonnée. Les éléments x1 , x2 , … , xp ne sont pas nécessairement distincts les uns des autres. Une liste à deux éléments de E s’appelle un couple d’éléments de E . Une liste à trois ( quatre, cinq … ) éléments s’appelle un triplet ( quadruplet, quintuplet … ) Plus généralement, une p-liste est aussi appelée un p-uplet. 04/03/2018 4 7 Exemple On lance un dé à 6 faces trois fois de suite . Le résultat de l’épreuve est une 3 – liste d’éléments de l’ensemble E défini par E = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } Par exemple la liste ( 1 ; 5 ; 4 ) indique que le premier lancé a donné 1 , le deuxième lancé a donné 5 … Les listes ( 1 ; 5 ; 4 ) et ( 1 ; 4 ; 5 ) sont différentes. Le nombre de 3 – listes est card ( E×E×E ) = 6×6×6 =216 Ainsi le nombre de résultats possibles est 216 . ( on peut faire un arbre … 8 Une disposition est une collection d’éléments. Une disposition peut être : Ordonnée ou non et Formée d’éléments Distincts ou non. Le principe de multiplication Soit une expérimentation complexe qui peut être divisée en une séquence d’étapes 1, 2, 3, … et : 1 a N1 résultats possibles, n’importe quel résultat de 1 peut être suivi par N2 résultats de 2, n’importe quelle combinaison de résultats de 1 et 2 peut être suivie par N3 résultats de 3, et ainsi de suite …alors l’expérience composée : 1 suivie de 2 suivie de 3, … a N1 x N2 x N3 x … résultats possibles. 04/03/2018 5 Exemple: 4 chemins relient le point A au point B, et 3 chemins relient B à C. Combien y a-t-il d’itinéraires pour aller de A à C ? Il s’agit d’une succession d’épreuves élémentaires, donc le principe de multiplication peut s’appliquer, il existe donc 4 fois 3, soit 12 itinéraires reliant A à C. (N.B. Un diagramme en arbre peut également être utilisé). 10 Permutation d’éléments distincts  E est un ensemble fini de cardinal égal à n. On appelle Permutation sur E toute n-liste des éléments de E. Par exemple, si E = {a ; b ; c ; d} , une permutation de E est (a ; b ; d ; c) ou (b ; a; d ; c). En revanche (a ; b; c ; c) n'est pas une permutation de E car l'élément "c" apparait 2 fois. Une permutation de E est donc un élément de E×E..×E dont lequel chaque élément de E apparait une et une seule fois. 04/03/2018 6 11 Exemples Dans une salle contenant 20 personnes, on veut faire sortir les personnes les unes après les autres. Ceci correspond à classer les personnes de la première à la vingtième. Il y a donc 20! façons de faire sortir les 20 personnes, c'est à dire 2 432 902 008 176 640 000 façons. Avec les chiffres 1 ; 2 ; 3 ...; 9 , on veut écrire tous les nombres possibles en utilisant tous ces chiffres une et une seule fois (en base 10). Un tel nombre apparait alors comme une permutation des 9 chiffres. Il y a alors 9! = 362 880 nombres possibles. Permutation avec répétition Définition: Soient k ≥ 1, E1, E2, ..., Ek des ensembles différents contenant respectivement n1, n2, ..., nk éléments identiques. Posons n = n1 + n2 + ... + nk. On appelle permutation avec répétition de n éléments une disposition ordonnée des ces éléments, où chaque éléments figure une seule fois et une seule. Exemple: Considérons la disposition : aabcc, elle est composée de 3 groupes distincts, contenant respectivement 2, 1 et 2 éléments. Les permutations possibles de cette disposition sont : aabcc, aacbc, aaccb, acacb, accab, acabc,...etc 04/03/2018 7 Permutation avec répétition Proposition Le nombre de permutations avec répétition d’un groupe de n éléments composé de k sous groupes différents, contenant respectivement n1, n2, ..., nk éléments identiques est égale à ! !....... ! ! 2 1 k n n n n L’Arrangements avec répétition est l’arrangement de p éléments Parmi n avec répétition. Le nombre d’arrangements avec répétition Est le nombre des p-listes dans un ensemble de n éléments. Arrangements sans répétition E étant un ensemble à n éléments, on appelle arrangement de p éléments de E, toute suite de p éléments distincts à disposition ordonnée de E. On le note . A p n )! ( ! ) 1 ( ... ) 2 ( ) 1 ( p n n p n n n n Ap n            Exemple Dans un groupe on compte 18 filles et 13 garçons. On veut former un comité exécutif de quatre membres pour remplir les postes de président, de vice-président, de secrétaire et de trésorier. De combien de façons peut-on former ce comité : a) s’il n’y a pas de contrainte ? b) si les postes de président et de secrétaire doivent être occupés par une fille et les autres postes par un garçon ? 04/03/2018 8 755160 ! 27 ! 27 28 29 30 31 )! 4 31 ( ! 31 4 31         A 1. S’il n’y pas de contrainte: 2. Si les postes du président et du secrétaire doivent être occupés par une fille et les autres postes par un garçon : 47736 12 13 17 18 )! 2 13 ( ! 13 )! 2 18 ( ! 18 2 13 2 18          A A Combinaisons E étant un ensemble à n éléments, on appelle combinaison de p éléments de E, toute disposition non ordonnée (partie) de p éléments distincts de E. On la note . C p n ! )! ( ! ! p A p n p n C p n p n    Exemple: Une urne contient 10 boules : 5 blanches, 3 noires et 2 rouges. On tire 3 boules de cette urne, de combien de manières peut- on tirer : 1. Deux boules blanches et une noire? 2. Une boule de chaque couleur? Rép. 1 2 1 3 1 5 1 3 2 5 . 2 . 1 C C C C C    04/03/2018 9 Les événements A et B sont mutuellement exclusifs ou incompatibles s’ils ne peuvent se réaliser en même temps. Formellement on écrit Ø. L’événement A implique B si la réalisation de A entraîne nécessairement la réalisation de B lors de l’expérience aléatoire, c’est-à-dire que tous les résultats de A font partie de B. Formellement on écrit . uploads/Religion/ chap2-proba.pdf